1.4. Прямой образ циклов

Пусть собственный морфизм. Для любого подмногообразия образ является замкнутым подмногообразием в Если имеет ту же размерность, что и V, то вложение полей будет конечным расширением (дополнение Положим

где степень расширения полей. Положим

По линейности это продолжается до гомоморфизма Эти гомоморфизмы функториальны: если тоже собственный морфизм, то как следует из мультипликативности степени при расширении полей. В комплексном случае, если то V является -листным накрытием так что прямой образ согласован с топологическим прямым образом (ср. § 19.1).

Теорема 1.4. Пусть собственный морфизм и а — некоторый -цикл на X, рационально эквивалентный нулю. Тогда рационально эквивалентен нулю на

Тем самым индуцируется гомоморфизм и является ковариантным функтором для собственных морфизмов.

Доказательство. Можно считать, что где рациональная функция на подмногообразии схемы Заменяя X на это подмногообразие, а на мы можем предполагать, что многообразия, а сюръектизен. Теперь теорема следует из более явного предложения:

Предложение 1.4. Пусть собственный сюръективный морфизм многообразий и Тогда

В п. (b) - конечное расширение поля норма функции т. е. детерминант -линейного эндоморфизма поля задаваемого умножением на

Доказательство. Случай 1. — поле, Тогда где Так как функция порядка — гомоморфизм, можно считать, что неприводимый многочлен степени Он порождает простой идеал соответствующий точке на X с Единственная другая точка, в которой имеет ненулевой порядок, — это точка на бесконечности, в которой униформизирующим параметром является Тогда обратим в Поэтому

Далее, расширение поля К степени тогда как Поэтому

Случай 2. f конечен. Пусть Пусть подмногообразие в коразмерности Существует область целостности В, конечная над А, с полем частных так что подмногообразия , лежащие над соответствуют максимальным идеалам , таким, что (Чтобы убедиться в этом, можно считать аффинными многообразиями с координатными кольцами соответственно; тогда А есть локализация в простом идеале, соответствующем Чтобы доказать нужно показать, что

Так как и функция порядка — гомоморфизмы, достаточно это доказать при По леммам левая часть этого уравнения

равна где эндоморфизм области целостности В, индуцированный умножением на По определению где индуцированный эндоморфизм поля Требуемое равенство

превращается теперь в частный случай леммы А.3.

Общий случай можно доказать тем же способом, так как всегда существует такая область целостности В, которая используется в случае 2 (дополнение Для более элементарного доказательства перейдем к нормализациям в их полях функций; индуцирует морфизм По функториальности и уже доказанному случаю можно предполагать, что нормальны. Если А — локальное кольцо подмногообразия на то А — кольцо дискретного нормирования. Пусть В — целое замыкание кольца По валюативному критерию собственности для каждого максимального идеала кольцо доминирует локальное кольцо При этом различны, так как собственный морфизм отделим. Поскольку одномерны и нормальны, и все завершается, как в случае 2.

При рассмотрении общего случая можно предположить, что Пусть Коэффициент при равен

где сумма берется по всем подмногообразиям коразмерности 1, которые отображаются на Заменяя на и X на мы можем считать X кривой над Пусть нормализация возьмем конечный морфизм Если проекция на то Пусть образ при изоморфизме По функториальности и случаю 2 для И

Применяя случай 2 и случай 1 мы получаем, что последний член равен нулю.

Определение 1.4. Пусть X — полная схема, т. е. X собственна над где К — поле, и пусть есть -цикл на

Степень цикла а, обозначаемая или определяется так:

Эквивалентно, где - структурный морфизм, отождествляется с Согласно теореме 1.4, рационально эквивалентные циклы имеют одну и ту же степень. Распространим гомоморфизм степени на все

полагая для а Для любого морфизма полных схем и а мы имеем

как частный случай функториальности. Мы часто будем писать вместо

Соглашение 1.4. Пусть как и замкнутые подсхемы схемы X, причем содержит все Для мы будем писать вместо более точного равенства вложение

Пример 1.4.1. Теорема 1.4 влечет за собой теорему Безу для плоских кривых над алгебраически замкнутым полем (см. гл. 8 и 12 по поводу обобщений): если плоские проективные кривые степени без общих компонент, то

(Можно считать неприводимой. Если многочлены имеют одинаковую степень то определяет рациональную функцию на кривой и

Последнее равенство следует из теоремы 1.4. Взяв где линеен, можно считать линейным многочленом. Аналогично можно считать линейным и тогда все очевидно.) Теорему Безу можно доказать и при помощи результантов, используя пример 1.2.2.

Пример 1.4.2. Тот факт, что собственные морфизмы отделимы, существен для справедливости теоремы 1.4. Например, если X получена

склеиванием двух экземпляров всюду, кроме точки проекция X на и то

Пример 1.4.3. Пусть X — неособая проективная кривая рода над алгебраически замкнутым полем. Тогда есть группа Пикара классов дивизоров на Ядро гомоморфизма степени — это многообразие Якоби кривой X, абелево многообразие размерности Если то группа не будет конечно порожденной.

Пример 1.4.4. Пусть X — абелево многообразие над алгебраически замкнутым полем. Если -цикл на X рационально эквивалентен нулю, сумма равна нулю в Это определяет гомоморфизм

Более общо, пусть X — неособое многообразие и универсальное отображение X в многообразие Альбанезе. Тогда существует гомоморфизм

переводящий в (Пусть По определению рациональной эквивалентности существуют неособые кривые конечные морфизмы отображающие бирационально на их образы, и для которых Каждый морфизм индуцирует морфизм из согласованный с Теперь все следует из отождествления с якобианом кривой См. [Ройтман 1] или [Murthy - Swan 1] по поводу деталей.)