15.3. Формула Римана — Роха без знаменателей

Пусть векторное расслоение над неособым многообразием Его полный класс Чженя принадлежит мультипликативной группе

По формуле Уитни полный класс Чженя определяет гомоморфизм

из аддитивной группы в мультипликативную группу Если комплекс векторных расслоений или любой набор векторных расслоений, пронумерованный целыми числами, мы пишем

для образа

Пусть замкнутое вложение неособых многообразий коразмерности d с нормальным расслоением и пусть векторное расслоение на X. Тогда и наша цель — найти формулу для

Для этого мы сначала рассмотрим модельную ситуацию, как в § 15.1. То есть каноническое сечение универсального факторрасслоения проекция Тогда

так что

Лемма 15.3. Фиксируем положительные целые числа Тогда существует единственный степенной ряд с целыми коэффициентами такой, что для любых векторных расслоений ранга над любым многообразием V

где обозначает

Доказательство. Пусть корни Чженя для корни Чженя для Тогда по замечанию 3.2.3

Достаточно проверить, что правая часть этого равенства делится на тогда по симметрии она делится на все а значит, и на произведение, равное Но если приравнять нулю, то каждый член произведения с и данным сокращается с аналогичным членом с замененным на

Возвращаясь к модели, положим и определим как в лемме, для этих Тогда

Так как то, как и в § 15.1, это дает

Теорема 15.3. Пусть замкнутое вложение неособых многообразий коразмерности d с нормальным расслоением Пусть

Е—векторное расслоение над X ранга Тогда

где такое же, как в лемме 15.3.

Доказательство. Оно совпадает с доказательством теоремы 15.2 для случая замкнутого вложения, с заменой характера Чженя на полный класс Чженя с.

Пример 15.3.1. Пусть такое же, как в лемме 15.3, для фиксированных и пусть член веса в Для а обозначим через компоненту Для таких как в теореме 15.3, и для

В частности, для Так как (ср. пример 5.1.2(c)), то

В частности,

Пример § 5). Пусть X — неособое многообразие над алгебраически замкнутым полем, локально замкнутое вложение, Для любого а существует векторное расслоение над X и целое число такие, что

Кроме того, можно предполагать, что для и что порождается своими сечениями.

Клейман использовал этот результат вместе с геометрией циклов Шуберта, чтобы показать сглаживаемость т. е. его рациональную эквивалентность циклу все неособые, при условии, что Ранее, в нулевой характеристике, Хиронака показал, что уже сам цикл а может быть сглажен, если Невозможность сглаживания циклов в общем случае была показана в работе [Hartshorne - Rees - Thomas 1], хотя вопрос о сглаживаемости с рациональными коэффициентами остается открытым. Обсуждение этой проблемы см. в статье [Hartshorne 4].

Пример 15.3.3. Пусть векторные расслоения рангов над схемой Пусть универсальное факторрасслоение над

и - проекция. Тогда для всех

где определяется в лемме 15.3. Эта формула, в свою очередь, определяет (Предположим, что где -многообразие. Пусть каноническое нулевое сечение. Тогда

как в § 15.1). (Другие описания доставляемые теорией -колец, см. в [SGA 6], Exp. 0.II.5 и V.6, и [Jouanolou 2].)

Пример 15.3.4. Для многочлен леммы 15.3 определяется из тождества

(пример 3.2.2). Близкое выражение для можно получить, расписывая (пример 3.1.1).

Пример 15.3.5 (ср. [Mumford 7]). Пусть -тривиальное линейное расслоение. Если или 2, то степенной ряд леммы 15.3 равен

Отсюда следует, что если замкнутое вложение коразмерности или 2 неособых многообразий с нормальным расслоением то

Если

Пример 15.3.6. Пусть X — неособое -мерное многообразие, и пусть (пример 15.1.5). Если а то для Сопоставление а определяет гомоморфизм

Композиции являющиеся эндоморфизмами и представляют умножение на (Рассуждаем, как в примере 15.2.6, используя пример 15.3.1. Заметим, что теорема 15.3 распространяется на произвольные регулярные вложения,

как в примере 15.2.15.) В частности,

Таким образом, если -поверхность, то Для аффинных многообразий имеются некоторые более сильные результаты, ср. [Kumar - Murthy 1].