4.2. Класс Сегре подсхемы

Пусть X — замкнутая подсхема схемы У. Пусть нормальный конус к X в

где пучок идеалов, задающий Класс Сегре схемы обозначаемый определяется как класс Сегре нормального конуса С:

Если X регулярно вложена в то этот нормальный конус является векторным расслоением и из предложения 4.1 следует, что есть -произведение полного обратного класса Чженя этого нормального расслоения с

Лемма 4.2. Пусть разноразмерная схема с неприводимыми компонентами геометрические кратности компонент Если X — замкнутая подсхема в то

Доказательство. Пусть обозначает раздутие вдоль Так как X нигде не плотно в многообразия

являются неприводимыми компонентами с кратностями

Исключительный дивизор в ограничивается до исключительного дивизора в поэтому, согласно лемме 1.7.2,

Умножая на и взяв прямой образ на X, мы получаем требуемое равенство.

Предложение 4.2. Пусть морфизм равноразмерных схем, - замкнутая подсхема, схемный прообраз и индуцированный морфизм.

(a) Если собственный морфизм, схема неприводима и отображает каждую неприводимую компоненту схемы на то

(b) Если плоский морфизм, то

Доказательство. определяется как где неприводимые компоненты схемы У, а геометрическая кратность компоненты Согласно лемме 4.2, можно считать также неприводимой.

Пусть -раздутие вдоль Исключительный дивизор — это Аналогично, пусть -раздутие вдоль Для индуцированного морфизма мы имеем равенство дивизоров Картье Пусть индуцированный морфизм и пусть (соотв. q) - проекция из в X (соотв. из в X). Если каноническое линейное расслоение над то каноническое линейное расслоение над

В ситуации имеем так что, согласно предложению

Поэтому, пользуясь формулой проекции (предложение получаем

Аналогично в п. (b)

Следствие 4.2.1. В предположениях предложения 4.2(a), если X регулярно вложена в с нормальным расслоением то

Если также регулярное вложение с нормальным расслоением то

Доказательство. Применим предложение

Следствие 4.2.2. Пусть X — собственная замкнутая подсхема многообразия Пусть -раздутие вдоль исключительный дивизор и : -проекция. Тогда

Доказательство. Класс самопересечения понимается в смысле определения 2.4.2. Первая формула следует из того, что нормальное расслоение к совпадает с ограничением расслоения на X, а также из того факта, что умножение на первый класс Чженя указанного нормального расслоения дает тот же эффект, что и пересечение с дивизором X (предложение Вторая формула — следствие того, что при отождествлении X с нормальное расслоение двойственно к можно также применить пример

Замечания. В случае когда бирациональный морфизм, т. е. предложение 4.2(a) утверждает бирациональную инвариантность классов Сегре: операция прямого образа переводит В случае когда регулярные вложения — например когда все четыре схемы неособые, — следствие 4.2.1 дает замечательное соотношение между классами Чженя нормальных расслоений.

Рассмотрим ситуацию следствия 4.2.1, когда -неособая точка на В этом случае мы получаем формулу для степени морфизма

Она может быть использована в ситуации, когда общий слой морфизма описать трудно, тогда как специальный вырожденный слой известен очень хорошо. Подобная процедура была использована в работе [Donagi - Smith 1] для вычисления степени отображения Прима.

Первая формула следствия 4.2.1 полезна также в случае, когда -особая точка в К В следующем разделе мы увидим, что совпадает с кратностью многообразия в точке Поэтому для бирационального морфизма получаем

По существу эта процедура была использована в статье для вычисления кратности многообразия специальных дивизоров (ср. пример 4.3.2).

Для вложения с неособым многообразием класс Сегре подправленный на не зависит от вложения (пример 4.2.6).

Пример 4.2.1. Следствие 4.2.2 верно для любой чисто -мерной схемы и ее замкнутой подсхемы X размерности Это можно также вывести из того, что дивизор Картье на

Пример 4.2.2. Пусть эффективные дивизоры Картье на поверхности Пусть схемное пересечение на Предположим, что пересекаются только в точке неособой на причем трансверсально. Тогда

(Чтобы увидеть это, возьмем раздутие поверхности в точке и пусть его исключительный дивизор. Тогда Поэтому

Можно также вычислить нормальный конус к X в он содержит компоненту, лежащую над точкой

Аналогично, если имеют одну и ту же кратность в и не имеют общих касательных, то

Для произвольным образом пересекающихся ответ зависит также от того, как пересекаются с (ср. пример 6.1.4).

Пример 4.2.3. В предположениях предложения если X регулярно вложена в с нормальным расслоением то

Пример 4.2.4. Лемма 4.2 может оказаться неверной, если отбросить предположение о равноразмерности (ср. пример 1.7.1).

Пример 4.2.5. Пусть замкнутое вложение,

Тогда

(Можно свести к случаю, когда дивизор Картье в У), и использовать пример 3.2.8.)

Пример 4.2.6. Канонические классы особых многообразий.

(а) Пусть схема X вкладывается в неособое многообразие Тогда класс

из не зависит от выбора вложения. Если -локально полное пересечение, то

Здесь -виртуальное касательное расслоение к X, корректно определенное как элемент группы Гротендика векторных расслоений на X (ср. § 10.1 и дополнение (Два вложения доминируются диагональю, так что достаточно сравнить вложения где неособые многообразия, такие, что существует гладкий морфизм : Согласно примеру 4.1.6, достаточно найти точную последовательность конусов

где нормальные конусы к а относительное касательное расслоение для Пусть рассмотрим

диаграмму

где индуцированы морфизмами Тогда — регулярное вложение с . Так как плоский морфизм, а значит, Разложение определяет морфизмы

Чтобы показать, что получающаяся последовательность точна, надо воспользоваться примером и свести все к случаю, когда — полное локальное кольцо, а — кольцо формальных степенных рядов над в этом случае локальное расщепление проверяется непосредственно.)

(b) Если -плоская кривая степени то

Мы не знаем простой общей формулы для для общей кривой. Примеры кривых или показывают, что может отличаться от .

(c) (ср. Fulton - Johnson 1]). Если как в

— конормальный пучок к то класс из также не зависит от вложения, где класс Сегре пучка (Получается аналогичным образом из примера 4.1.7.) В случае локально полных пересечений, но не в общем случае, этот класс совпадает с каноническим классом из п.(а).

Пример 4.2.7. Пусть X — замкнутая подсхема в векторное расслоение над вкладывается в как нулевое сечение. Тогда

(Надо свести к случаю, когда -многообразие, а -дивизор Картье на

Пример 4.2.8. (а) Если регулярное вложение с нормальным расслоением то может отличаться от например если -кривая и -особая точка на

(b) Если дивизор Картье на с нормальным расслоением то может отличаться от Для примера можно взять в качестве конус в качестве прямую качестве X — точку

Пример 4.2.9. (а) Локальное эйлерово препятствие. Пусть X есть -мерное многообразие. Пусть : собственный бирациональный морфизм, для которого существует сюръекция пучков

где локально свободный пучок ранга на Например, в качестве X годится раздутие Нэша многообразия Пусть Для каждой точки определим локальное эйлерово препятствие формулой

Указанное целое число не зависит от выбора (Так как любые два X доминируются третьим, это следует из бирациональной инвариантности классов Сегре.) Такое определение предложено Гонзалесом и Спринбергом ([Gonzalez - Sprinberg 1]) и Вердье, доказавшими его совпадение с первоначальным трансцендентным определением Макферсона ([MacPherson 1]).

(b) Класс Мазера — Чженя. Пусть : как в Тогда класс Мазера — Чженя

не зависит от выбора (Следует использовать формулу проекции.)