Дополнение А. Алгебра

Резюме

В этом дополнении собраны основные нужные нам понятия коммутативной алгебры и факты, необходимые для доказательства основных теорем. Формулируются также некоторые полезные результаты со ссылками на доказательства в литературе.

Обозначения. Все кольца предполагаются коммутативными, нетеровыми и с единицей. Локализация кольца А (соотв. модуля в простом идеале обозначается (соотв. Если конечное расширение поля К, то обозначает его степень.

А.1. Длина

Определение Для любого конечно порожденного -модуля имеется цепочка подмодулей

с где простые идеалы в A ([Bourbaki 1]), IV, § 1, теорема 1). Если все эти простые идеалы максимальны, говорят, что имеет конечную длину. Эквивалентно, можно сказать, что локализации отличны от нуля только для конечного числа простых идеалов и все они максимальны. В этом случае длина цепочки не зависит от выбора цепочки, называется длиной и обозначается Заметим, что для любого идеала 7, такого, что

Лемма А.1.1. Если точная последовательность -модулей и два из них имеют конечную длину, то третий также имеет конечную длину и

Вообще, если

— точная последовательность модулей конечной длины, то

Доказательство. Цепочки для длины определяют цепочку длины для Второе утверждение следует из разбиения длинной точной последовательности на короткие точные последовательности.

Лемма А.1.2. Если имеет конечную длину, то

где сумма берется по всем простым идеалам в А.

Доказательство. Локализуя цепочку в максимальном идеале мы видим, что встречается в качестве фактора раз.

Лемма А.1.3. Пусть локальный гомоморфизм локальных колец. Пусть степень расширения полей вычетов. Ненулевой -модуль имеет конечную длину над А тогда и только тогда, когда и имеет конечную длину над В, и в этом случае

Доказательство. Обе части ведут себя аддитивно на точных последовательностях, Поэтому можно ограничиться случаем максимальный идеал в В. Если максимальный идеал кольца А, то

так как над полем длина и размерность векторного пространства совпадают.

Пример А. 1.1. Пусть локальное кольцо А обладает подкольцом к, которое изоморфно отображается на поле вычетов кольца А. Тогда для любого -модуля