11.3. Пределы и отмеченные многообразия

Пусть регулярное вложение коразмерности чисто -мерная подсхема с Пусть - ограничение на -проекция и нулевое сечение. Пусть - неприводимые компоненты — геометрическая кратность С, в С, так что и

Многообразия отмеченные многообразия пересечения (§ 6.1). Для любого замкнутого подмножества с X положим

Для любого цикла на X с неприводимыми и для замкнутого положим

Предложение 11.3. Предположим, что конечномерное векторное пространство сечений расслоения порождающее Пусть замкнуто в Тогда существует непустое открытое подмножество в такое, что

(i) для любого так что определен как и

(ii) для любой деформации вложения с характеристическим сечением из определен как

Доказательство. Применим лемму Серра (дополнение к подмногообразиям расслоения и замкнутым подмножествам базы. Это дает открытое множество в такое, что

Поэтому если то так что корректно определен как -цикл. В силу (b)

так как не может иметь компонент в если Поскольку представляет (следствие 6.5), представляет ( что доказывает (i). Утверждение (ii) вытекает из (i) и следствия

Замечание 11.3. Предположим, что порождается подпространством сечений и каждое сечение в характеристическое для некоторой деформации. Тогда предложение 11.3 дает динамическую интерпретацию для классов :

есть часть предельного цикла пересечения, расположенная на для общей деформации т. е. деформации, характеристическое сечение которой лежит в

Знание классов ( для всех замкнутых подмножеств эквивалентно знанию вкладов отмеченных многообразий пересечения

, т. е. знанию канонического разложения Явно это можно записать так. Для каждой точки положим

Таким образом, равно нулю во всех случаях, кроме того, когда является отмеченным многообразием, и в этом случае есть вклад (ср. определение 6.1.2). Динамически компонента предельного цикла расположенная на для общей деформации вложения Для каждой неприводимой кривой положим

Значит, кроме того случая, когда С — отмеченное многообразие, и в этом случае есть вклад С в Далее есть компонента предельного цикла расположенная на С, для общей деформации тогда как часть расположенная на С, но не в отмеченных точках С. Индуктивно для любого неприводимого подмногообразия с X полагаем

где сумма берется по всем собственным подмногообразиям Если то отмеченное подмногообразие и вклад Обратно, если все вклады положительны — см. § 12.2 по поводу достаточных условий, — отмеченные многообразия выделяются необращением в нуль Динамически часть общего предельного цикла, которая расположена на но не на собственных отмеченных подмногообразиях многообразия

Предположим дополнительно, что и что общее сечение в характеристическое для деформации такой, что пересекают V трансверсально для общей точки Тогда степень вклада для каждого отмеченного многообразия равна числу точек из

которые стремятся к но не к собственным отмеченным подмногообразиям многообразия при общей деформации 2? Эквивалентно, для любого замкнутого подмножества

Пример 11.3.1 ([Severi 15], [Lazarsfeld 1]). Пусть гиперповерхности в определенные формами степеней и пусть V — чисто -мерное подмногообразие в Рассмотрим пересечение

Пусть Тогда (дополнение

Пространство

дает пространство сечений удовлетворяющее условиям предложения 11.3. Деформация заданная так:

имеет характеристическое сечение Используя такую деформацию, можно получить динамическую интерпретацию отмеченных многообразий и их пересечений, данную в замечании 11.3. В частности, это дает теорему из статьи [Lazarsfeld 1], § 2, что классы определенные динамически Севери и Лазарсфельдом, совпадают с тонкими классами пересечений из работы [Fulton - MacPherson 1, 2].

Пример 11.3.2 ([Segre В. 3], [Lazarsfeld 1]). Пусть плоские кривые, определенные формами

где не имеют общих сомножителей. Пусть С — нормальный конус к Определим как в предыдущем примере. Если сечение в такое, что не имеют общих сомножителей, то определен как цикл:

где циклы справа — циклы пересечения собственно пересекающихся кривых. В частности, для любой деформации с такими же как и выше, предельный цикл определен и задается формулой Вклады отмеченных многообразий можно извлечь из этого описания (ср. пример 6.1.4). (Рассмотрим деформации Если схема пересечения, замыкание ограничения на задается уравнениями

Если локальные уравнения для в локальном кольце плоскости в точке, то точная последовательность

остается точной и после тензорного умножения на Отсюда следует, что плоско над и что задается формулой См. детали в статье [Lazarsfeld 1], § 3.)

Формула Сегре выполняется также для эффективных кривых на произвольной неособой поверхности; уравнения для кривых нужно заменить сечениями подходящих линейных расслоений.

Пример 11.3.3 ([Lazarsfeld 1]). Рассмотрим плоские кривые Ни заданные уравнениями

Отмеченные многообразия (для пересечения диагонали с это прямые и точка Каждое дает вклад степени 3 в пересечение. (Это можно увидеть из формулы предыдущего примера, где общие кубики.)

(b) Для деформаций

никакая из девяти точек пересечения не стремится к отмеченной точке при Характеристическое сечение не удовлетворяет условию из предыдущего примера. Вопреки утверждению из работы [Severi 15], вклады отмеченных многообразий могут не совпадать с минимумами по всем деформациям гиперповерхностей. В более высоких размерностях аналогичные примеры имеются для неприводимых гиперповерхностей, см. [Lazarsfeld 1], с. 283.

(c) Если кривые деформируются действием проективной линейной группы на т. е. где общие кривые в сходящиеся к тождественному автоморфизму, то 7 точек в

стремятся к при и лишь по одной точке стремится к каждой из прямых Характеристические сечения таких деформаций не порождают нормальное расслоение к

Если класс пересечения строить по диаграмме

то вклад равен 5, в то время как каждая прямая дает вклад 2. (В этом случае деформация автоморфизмами пространства дает достаточно сечений, чтобы породить нормальное расслоение

Если класс пересечения строить по диаграмме

деформируя для общей кубики то видно, что отмеченными являются только прямые При этом дает вклад степени 3, а степени 6.

Пример 11.3.4. Пусть как в примере 11.3.2. Пусть точка из не принадлежащая Рассмотрим деформации такие, что проходит через для бесконечно малых т. е. где характеристическое сечение. Для общего сечения с этим условием предельный цикл содержит с кратностью, равной кратности Надо использовать формулу Сегре

Например, из четырех точек пересечения двух коник

только одна стремится к при если константы общие (достаточно Севери ([Severi 12]) обсуждает на этом примере тонкости таких предельных задач.

Пример 11.3.5. Результаты § 11.2 и 11.3 без существенных изменений переносятся на случай, когда схема V отображается в произвольным морфизмом а не только замкнутым вложением, и