17.5. Моноидальные преобразования

Пусть - регулярно вложенная замкнутая подсхема схемы Пусть раздутие вдоль Образуем расслоенный квадрат

Предположим, что существует сюръекция локально свободного пучка на на пучок идеалов схемы это так, например, если вкладывается в гладкую схему. Тогда разлагается в композицию регулярного замкнутого вложения в и проекции, так что разложимый л.п.п. морфизм относительной размерности 0. Поэтому имеет класс ориентации

Предложение 17.5. (а). В этих обозначениях

(b) Пусть - любой морфизм; образуем расслоенный квадрат

Тогда - расщепимый мономорфизм с обратным

Доказательство (ср. предложение 6.7(b) и пример 6.7.1).

(а) Пусть Образуем расслоенный квадрат как в (b). Мы должны показать, что Можно предполагать, что -многообразие и в силу ковариантности. Пусть и пусть индуцированные морфизмы.

Если , то по предложению 17.4.1

где - универсальное факторрасслоение над плоский обратный образ. Согласно примеру 3.3.3,

что доказывает (а) в этом случае.

Предположим теперь, что и пусть — раздутие V вдоль Тогда

для некоторого явная формула для дана в примере 6.7.1. Поэтому

так как

Это вытекает из и следующего тождества (аксиома

Пример 17.5.1. (а) Пусть векторное расслоение, а морфизм. Тогда

— изоморфизм.

(b) Пусть такие же, как в (а), и Тогда

В частности,

(c) Пусть диаграмма раздутия, как в § 6.7. Пусть любой морфизм. Тогда существует расщепимая точная последовательность

В частности,

(Отображения и доказательства параллельны отображениям и доказательствам §3.3 и §6.7.)