6.1. Основная конструкция

Пусть замкнутое регулярное вложение коразмерности d с нормальным расслоением Пусть V — чисто -мерная схема и морфизм. Обозначим через схемный прообраз и образуем расслоенный квадрат

Пусть расслоение ранга d на с проекцией Так как пучок идеалов подсхемы порождает пучок идеалов подсхемы имеется сюръекция

Это определяет замкнутое вложение нормального конуса как подконуса векторного расслоения

Так как конус С чисто -мерный (дополнение В.6.6), он определяет k-цикл (§ 1.5). Пусть нулевое сечение расслоения Определим произведение-пересечение схемы V с подсхемой обозначаемое (или или см. пример 6.2.1), как класс на получаемый «пересечением с нулевым сечением расслоения Иначе говоря,

где Гизина из определения 3.3. Эквивалентно, — тот единственный класс в для которого

Предложение В этих обозначениях

(b) Если универсальное факторрасслоение ранга d над проекция то

(c) Если дивизор Картье на -многообразие и -замкнутое вложение, то совпадает с классом пересечения, построенным в §2.3.

Доказательство. Так как при ограничении на схема превращается в С, утверждение (b) следует из предложения 3.3. Для доказательства (а) рассмотрим универсальную точную последовательность

над По формуле Уитни Поэтому

что доказывает

Что касается (с), то при имеем так что по предложению (ср. пример 3.3.1). Если же то обратный образ дивизора Картье Так что все совпадает с предписаниями из § 2.3.

Определение 6.1.2. Пусть неприводимые компоненты конуса геометрические кратности С, в С, так что Пусть носители т. е. замкнутые гообразия

Многообразия (некоторые из них могут совпадать) называются отмеченными многообразиями пересечения V с Пусть ограничение на Мы имеем коммутативную диаграмму

Пусть нулевое сечение Из определения ясно, что переходит в Поэтому

Мы называем равенство каноническим разложением произведения-пересечения.

Если отмеченное подмногообразие в то сумма членов называется эквивалентом многообразия для

пересечения или его вкладом в Стоит подчеркнуть, что отмеченное многообразие может иметь любую размерность между однако вклады — всегда классы циклов размерности к только при вклад является кратным [Z] (ср. гл. 7).

Для замкнутого подмножества часть расположенная на и обозначаемая это класс из полученный сложением вкладов всех отмеченных многообразий, содержащихся в

В этой главе мы изучаем классы и устанавливаем для них формальные свойства, которые следует ожидать от произведений-пересечений. Отдельно взятые члены канонических разложений ведут себя, однако, более деликатно. Примеры и классические приложения появятся позже, особенно в гл. 9 и 16. Каноническое разложение естественно появляется в доказательстве формулы Севери в примере

16.2.4. Динамическая интерпретация этих вкладов будет дана в гл. 11.

Пример 6.1.1. Формулы из предложения 6.1 верны и для вкладов отмеченных многообразий:

где универсальные расслоения над проекции на

Пример 6.1.2. Рассмотрим дивизоры на где прямые, пересекающиеся в точке Пусть диагональное вложение Тогда являются отмеченными многообразиями пересечения и соответствующее каноническое разложение имеет вид

где суть -циклы степени 3 на

Пример 6.1.3. Пусть кривая кривая точка Для отмеченным многообразием является лить тогда как для отмечены и (Заменим аффинной плоскостью. Если I — идеал в , порожденный то гомоморфизм

переводящий в является изоморфизмом. Поэтому компонентами С будут: прямая которая проектируется в точку и прямая которая проектируется на

Аналогично для произведения-пересечения диагонали отмечена лишь кривая тогда как для пересечения отмечены и

В каждом случае каноническое разложение классов пересечений можно вычислять либо прямо, либо пользуясь динамической интерпретацией из гл. 11 (ср. пример 11.3.2).

Пример 6.1.4 (ср. примеры 4.2.2 и 11.3.2). Пусть эффективные дивизоры Картье на неособой поверхности X, причем взаимно просты. Пусть Рассмотрим пересечение диагонали возникающее из расслоенного квадрата

(a) Отмеченными многообразиями этого произведения-пересечения являются неприводимые компоненты дивизора а также точки из (Надо отождествить раздутие X вдоль с раздутием X вдоль

Если в точке кривые пересекаются трансверсально, то вклад в класс пересечения равен

(c) Пусть неприводимая компонента кратности дивизора и пусть пересекаются трансверсально в некоторой точке Тогда вклад в класс пересечения равен

(Следует использовать раздутие из (а) для вычисления классов Сегре.)

(d) Если трансверсальны, вклады могут быть вычислены последовательными раздутиями, однако ответы усложняются. Например, если задаются многочленами (для некоторого соответственно и то вклад равен если , и при

Пример 6.1.5. В однородных координатах на пусть

Отмеченными многообразиями для пересечения диагонали пространства являются прямые и точка Каждый вклад имеет степень 3.

Пример 6.1.6. В ситуации предложения члены), для

Пример 6.1.7. Если вложение также регулярно коразмерности d с нормальным расслоением то

(См. § 6.3 по поводу обобщений.)

Пример 6.1.8. Пусть универсальное факторрасслоение ранга над Предположим, что Тогда

где проекция из (Надо сравнить доказательство предложения с примером 4.1.2.)

Пример 6.1.9. Единственность произведений-пересечений. Произведение-пересечение определенное для любого регулярного вложения коразмерности d и любой чисто -мерной подсхемы характеризуется следующими свойствами:

(i) («нормализация»). Если - векторное расслоение над -вложение нулевого сечения, где проекция, то .

(ii) («непрерывность»). Если — семейство регулярных вложений, а У — подмногообразие в причем и плоски над то все классы равны между собой. Здесь и V, — слои над рациональными точками

(Следует применить (ii) к деформации к нормальному конусу, т. е. взять