Замечания и литература

Проблема сопоставления кратности изолированному решению полиномиальных уравнений с переменными восходит к началу алгебраической геометрии, хотя точные утверждения появились лишь сравнительно недавно. Две оказавшиеся жизнеспособными точки зрения можно найти в работах Ньютона и его современников:

(1) Динамический подход, когда кратностью решения считается число решений вблизи данного решения при малом шевелении уравнений. Например, точка касания прямой с кривой есть предел пересечений с близкими секущими прямыми.

(2) Статический подход, когда кратность получается без вариации уравнений. Для Ньютон и Лейбниц показали, как исключить одну переменную, получая полиномиальное уравнение, корни которого дают абсциссы общих решений уравнений. Вопрос о кратности, таким образом, сводится к кратности корней уравнения с одним неизвестным.

В 1822 г. Понселе ([Poncelet 1]) сделал динамический подход вполне явным с помощью своего «принципа непрерывности». Правила такого типа для вычисления кратностей пересечений давались в работах [Cayley 1], [Halphen 1], [Schubert 1] и [Zeuthen 3]. Итоги той эры исследований собраны в работе [Zeuthen - Pieri 1]. Мы обсудим эти принципы в гл. 11.

Теория исключения и вычисление результантов также не остались без внимания; здесь можно упомянуть имена Эйлера, Безу, Кэли, Сильвестра, Кронекера и Гильберта. Этот подход обсуждается в работах [Salmon 2] и [Segre В. 8]; ср. пример 8.4.13.

В 1915 г. Маколей ([Macaulay 1]) дал статическое определение кратности в терминах длины кольца по модулю идеала и доказал теорему Безу для гиперповерхностей в

Пересечения более общих многообразий, чем гиперповерхности в -мерном пространстве, обсуждались с динамической точки зрения Севери, Ван дер Варденом и Вейлем в 1930 г. В 1928 г. Ван дер Варден ([van der Waerden 2]), опираясь на пример Маколея (пример 7.1.5 выше), показал, что наивное определение, использующее длину, работает не всегда. В статье 1930 г. [van der Waerden 3] он отметил также, что топологическая теория пересечений Пуанкаре — Лефшеца позволяет дать понятие кратности пересечения для комплексных многообразий в силу их триангулируемости. Рассуждения Севери (ср. [Severi 7], где дана сводка результатов) были почти целиком геометрическими. Ван дер Варден ([van der Waerden 1]), Вейль ([Weil 2]) и Барзотти ([Ваг-sotti 1]) развили алгебраические понятия специализации для того, чтобы сделать такие геометрические идеи строгими, не связанными с геометрической интуицией и осуществимыми над любыми основными полями.

Шевалле ([Chevalley 1]) в 1945 г. дал важное новое определение кратности пересечения в терминах пополнений локальных колец; его теория была поэтому применима также в аналитическом и формальном случаях. Он дал также критерий единичной кратности, включающий приведенный в § 7.2. Самюэль ([Samuel 1]) первым дал определение, пригодное для произвольного нётерова локального кольца А. Как в примерах 4.3.1 и 4.3.4, он определил кратность для любого идеала У, примарного относительно максимального идеала. Самюэль доказал многие основные свойства этой кратности, включая совпадение с определением Шевалле.

Мы можем лишь упомянуть некоторые из многочисленных дальнейших исследований о кратностях в локальных кольцах общего вида. Можно посоветовать книги [Nagata 2], [Northcott 2] и [Kunz 1].

Нагата доказал, что если порождается А элементами, то в точности тогда, когда А— кольцо Коэна — Маколея (ср. пример 7.1.3). Кроме того, Ыагата ([Nagata 1]) обобщил критерий Шевалле единичной кратности: если несмешанное, то в том и только том случае, когда А регулярно, максимальный идеал. Он же привел пример, показывающий, что этот критерий может нарушаться для произвольного локального кольца.

Лех ([Lech]) доказал замечательную асимптотическую формулу

которую он использовал для установления формулы ассоциативности для кратностей (ср. пример 7.1.8).

В 1957 г. Серр ([Serre 4]) показал, что есть альтернированная сумма длин комплекса Кошуля (ср. пример 7.1.2) или альтернированная сумма длин модулей Это определение, в отличие от предыдущих алгебраических определений, распространяется на пересечения, в которых никакой из сомножителей не задается регулярной последовательностью. Некоторые авторы, начиная с Клеймана ([Kleinian 5]), строили другие идеалы одна из таких конструкций была разработана и применена к теореме Безу в работе Тессье ([Teissier 1, 2]) дал некоторые интересные новые формулы кратности.

Определение кратности пересечения данное в этой главе, также основано на длине — длине локального кольца нормального конуса в компоненте, лежащей над Так как нормальные конусы строятся по ассоциированным градуированным кольцам легко понять, что это определение совпадает с определением Самюэля (пример 7.1.1). Неявно такое вычисление кратностей встречается в работах [Verdier 5] и [Fulton - MacPherson 1, 2]. Основные свойства кратностей в таком геометрическом контексте следуют из свойств, полученных для произвольных пересечений в гл. 6; никакой предварительной теории кратностей, кроме алгебраических основ из дополнения А, не требуется. Насколько нам известно, доказательство критерия единичной кратности из § 7.2 является новым.

Стоит напомнить, что все предыдущие конструкции кратностей пересечений, за исключением Тог-определения Серра, применимы только в том случае, когда одно из пересекаемых многообразий регулярно вложено в объемлющее пространство. Кратности пересечений произвольных многообразий на неособом многообразии определяются с помощью редукции к диагонали, о чем рассказывается в следующей главе.