16.1. Алгебра соответствий

Определение 16.1.1. Соответствием из многообразия X в многообразие называется цикл или класс эквивалентности циклов на Соответствие а из обозначается а:

Пусть соответствия с неособыми Произведение (или композиция) соответствий — это соответствие из заданное формулой

Здесь обозначают проекции на соответственно. Произведение есть произведение-пересечение на неособом многообразии Если циклы и а собственно пересекается с то а — корректно определенный цикл на в общем случае а определен с точностью до рациональной эквивалентности. Это умножение задает билинейный гомоморфизм

Для соответствия его транспозиция определяется как где переставляет сомножители, т. е.

Неприводимое соответствие из задается подмногообразием и отождествляется с его циклом Любой морфизм определяет неприводимое соответствие из заданное графиком

Предложение 16.1.1. Пусть

Доказательство, (а) Обозначим через проекцию из введем аналогичные обозначения для других проекций; для проекций из верхний индекс писать не будем. Согласно предложению 1.7, имеем формулу

для гомоморфизмов из Далее

Здесь первое равенство следует из определения произведения, второе — из формулы третье — из согласованности обратного образа с произведением-пересечением, функториальности обратного образа и формулы проекции, четвертое — из функториальности прямого и

ратного образов, пятое — из ассоциативности произведения-пересечения. По симметрии последнее выражение равно что завершает проверку

(b) Пусть переводит Для любых обозначим через морфизм перестановки сомножителей Согласно предложению 1.7,

Рассуждая, как в (а), имеем

Третье равенство использует тот факт, что гомоморфизм колец (пример 8.3.5); четвертое следует из тождества Другое равенство следует из тождества

Пусть график Тогда

Второе равенство использует предложение 1.7, третье — формулу проекции, а четвертое — тождества

Аналогично для имеем

Что касается то

Следствие 16.1.1. Для неособого многообразия X умножение а превращает в ассоциативное кольцо с единицей и инволюцией

Определение 16.1.2. Для определим гомоморфизм

формулой и гомоморфизм

формулой

Предложение Если а: то

Доказательство. Пусть Если а то можно отождествить с а Аналогично, если то При таком отождествлении следуют из соответствующих частей предложения 16.1.1.

Следствие 16.1.2. Для неособого многообразия X гомоморфизм

является гомоморфизмом (соотв. антигомоморфизмом) колец.

Замечание 16.1. Полезны некоторые модификации также называемые кольцом соответствий на X:

(i) Пусть где Это под кольцо кольца соответствий, замкнутое относительно инволюции и содержащее единицу и графики морфизмов; а индуцирует гомоморфизмы сохраняющие градуировку (ср. пример 16.1.1).

(ii) Можно рассмотреть где -идеал вырожденных соответствий (ср. пример 16.1.2).

(iii) Можно заменить рациональную эквивалентность алгебраической, численной или гомологической эквивалентностью (ср. гл. 19).

Результаты этого раздела без труда переносятся на произвольные гладкие собственные схемы над полем при помощи тождества

где связные компоненты

Наконец, полнота объемлющих многообразий нужна не всегда. Например, если а: и носитель а собственный над то а индуцирует гомоморфизм В самом деле, если то представляется некоторым классом на и собственный прямой образ этого класса есть

Пример 16.1.1. Соответствие называется однородным степени (или коразмерности) если а Если имеет степень степень то а имеет степень В частности, соответствия нулевой степени замкнуты относительно композиции. Если а имеет степень то а отображает в а а отображает Если - морфизм, имеет степень 0. Если имеет степень то а имеет степень в частности, имеет степень . (Двойственное определение обсуждается в примере 16.1.12.)

Пример 16.1.2. Вырожденные соответствия, (а) Пусть подгруппа в порожденная соответствиями вида где V (соотв. подмногообразие в X (соотв. в У). Если а то Отсюда следует, что является двусторонним однородным идеалом в (Если то

Подгруппа в порожденная соответствиями вида для точек также образует двусторонний идеал.

(b) Рассмотрим только -мерные многообразия Пусть подгруппа в порожденная неприводимыми соответствиями где -подмногообразие в такое, что или Если а то Следовательно, двусторонний инволютив-ный идеал в

(Пусть где неприводимы. Если то а представляется циклом на Предположим теперь, что Если то по счету размерности. Любой и-цикл на рационально эквивалентен циклу, ни одна из компонент которого не содержится в ; в самом деле, на любом гладком многообразии любой цикл можно сдвинуть с любого заданного собственного подмногообразия, как легко показать локальными рассуждениями.)

(c) Если X — кривая, то Факторкольцо невырожденных соответствий действует на якобиане

операциями а, и а определения 16.1.2.

Пример 16.1.3. Если соответствия из то

в где проекция. Если -мерные, то называется виртуальным числом совпадений Таким образом, виртуальное число совпадений равно виртуальному числу неподвижных точек соответствия а или а Образуем расслоенный квадрат

где проекция. Тогда по теореме 6.2.)

Пример 16.1.4. В этом примере неприводимые многообразия одинаковой размерности. Индексы (или степени) соответствия а определяются формулами

(а) Если

(Используем предложение и равенство )

(b) Для любого

(c) Для любой рациональной точки на .

Если то а называется -соответствием.

Пример 16.1.5. Валентность. Многообразия предполагаются -мерными. Согласно Севери ([Severi 10]), соответствие а имеет нулевую валентность, если оно принадлежит группе вырожденных соответствий из примера 16.1.2(a). Соответствие а имеет валентность если а имеет нулевую валентность, где тождественное соответствие. Эти понятия особенно полезны, когда рациональная эквивалентность заменяется алгебраической или численной, как в замечании 16.1.

(a) Если соответствия на X валентностей то а имеет валентность - (Имеем )

(b) имеют одинаковую валентность.

(c) Если а имеет валентность и известно разложение

где подмногообразия в X с то

где эйлерова характеристика Каждое соответствие а на имеет валентность 0. Если а есть - соответствие на то

Этот принцип соответствия Шаля ([Chasles 1, 4]) — что -соответствие на имеет а неподвижных точек — был одним из первых инструментов классической исчислительной геометрии.

(e) (Шаль — Кэли — Брилль — Гурвид). Если а есть - соответствие валентности и на кривой X рода то

Если где неприводимо и то имеет а неподвижных точек с учетом кратностей. (Пусть а Тогда Применим

Если X — проективное пространство, многообразие Грассмана или многообразие флагов, то любое соответствие из имеет нулевую валентность. (См. пример 1.10.2.) На кривой с общими модулями каждое соответствие имеет валентность

(g) Если замкнутое вложение и — чисто -мерная подсхема в то

— соответствие нулевой валентности. Если проекция на X плоская со слоем над точкой то есть класс пересечения При некоторых дополнительных условиях Севери называет такое а обобщенным соответствием Цейтена.

Пример 16.1.6 (ср. [Severi 5], с. 174). Пусть соответствие а на кривой рода является произведением соответствий где а, есть -соответствие валентности Тогда виртуальное число неподвижных точек а равно

Пример 16.1.7. Пусть соответствия на кривой рода причем а, есть -соответствие валентности Тогда виртуальное число совпадений дается формулой

(Это следует из примеров

Исчислительные применения этой и предыдущей формул для соответствий на кривых см. в работе [Severi 5], VI, §4.

Пример 16.1.8 (ср. [Zeuthen I], [Severi 5], § 60). Пусть -неприводимое -соответствие между кривыми Пусть род хривой число (с нужной кратностью) точек кривой С, которым соответствуют менее точек симметрично определяются Тогда

(Применим формулу Римана — Гурвица (пример 3.2.20) к , где неособая модель Вообще, если (соотв. дивизор двойных точек, а К (соотв. К) — канонический дивизор на С (соотв. на С), то

(Запишем

Пример 16.1.9. Пусть морфизм, его неподвижная точка, рациональная над основным полем. Рассмотрим как эндоморфизм касательного расслоения

Если то изолированная неподвижная точка/и

(b) Если X — кривая и основное поле нулевой характеристики, то

Здесь порядок обращения в нуль в точке сечения расслоения (Если локальная координата в точке левая часть равна порядку нуля при

Пример 16.1.10. Неравенство Кастелънуово — Севери (ср.

(а) Пусть есть -соответствие между кривыми Тогда

(Применим теорему об индексе (пример 15.2.4) к дивизору на поверхности с обильным дивизором ) Заметим, что равенство достигается ровно тогда, когда некоторое кратное алгебраически эквивалентно вырожденному соответствию или имеет нулевую валентность по модулю численной эквивалентности.

(b) Пусть такое же, как раньше, есть -соответствие между Тогда

(Пусть где Тогда неотрицательная квадратичная форма и ее дискриминант неположителен.)

(c) Пусть такое же, как в (а), и кривая рода Тогда

Равенство достигается ровно тогда, когда имеет нулевую валентность по модулю численной эквивалентности.

(d) Если в графики морфизмов из то есть взвешенное число совпадений и

где — род С. (По формуле самопересечения так что если то взвешенное число неподвижных точек морфизма удовлетворяет оценке

(f) Если кривая С определена над полем из элементов, то число ее -значных точек удовлетворяет «гипотезе Римана»

(Применим (e) к морфизму Фробениуса.)

Пример 16.1.11 (ср. [Colliot-Thelene - Согау 1], §6). Если бирационально эквивалентные полные неособые многообразия над алгебраически замкнутым полем, то (Замыкание графика бирационального отображения определяет соответствие Чтобы убедиться, что а» и а — взаимно обратные изоморфизмы на заметим, что к есть сумма тождественного соответствия и соответствий, проекции которых содержатся в собственных подмногообразиях многообразия Любая точка из X рационально эквивалентна нуль-циклу, не задевающему заданное подмногообразие в

Пример 16.1.12. Мотивы Гротендика (ср. [Манин 1], [Kleiman 5], [Deligne - Milne - Ogus - Shih 1]). Пусть — категория гладких схем

(над фиксированным основным полем). Определим аддитивную категорию Теле дующим образом. Объекты у нее те же, что для схемы X соответствующий объект обозначим Морфизмы в определяются как соответствия, так что

а их композиция — как умножение соответствий. Определим прямую сумму в формулой и тензорное произведение формулой Для каждого морфизма определим в формулой это задает контравариантный функтор из в

Для из положим Нот Для : Нот ( определим

при помощи равенства Когда точка, и - гомоморфизм определения 16.1.2. Если то если

Принцип равенства Манина. Пусть Нот ( Тогда следующие утверждения эквивалентны: для любого (В самом деле, так что

Пользуясь этим принципом, можно показывать, что формулы, верные в теории рациональной эквивалентности А, остаются верными в теории когомологий если имеется отображение цикла Например, ключевая формула для неособых многообразий (предложение может быть выражена как равенство соответствий между и Справедливость этой формулы после умножения диаграммы из § 6.7 на произвольное влечет за. собой ее справедливость в

Определим где связные компоненты X размерности Степени морфизмов складываются при композиции. Оставляя лишь морфизмы нулевой степени, мы получаем подкатегорию категории

Гротендик определяет мотив как пару где Нот Мотив многообразия X — это пара обозначаемая Определим Нот как

С такими морфизмами категория мотивов, обозначаемая является псевдоабелевой, и естественный функтор из универсален для функторов в псевдоабелевы категории. (Аддитивная категория В называется псевдоабелевой, если каждый морфизм

имеет ядро и каноническое отображение есть изоморфизм.) Категория обладает тензорными произведениями:

Мотив Тэйта определяется как где Тогда где Если векторное расслоение ранга в над X, то существует канонический изоморфизм мотивов

([Манин 1], § 7). Аналогичные формулы верны для раздутий (там же, § 9). Для кривой X существенная часть ее мотива заключена в ее якобиане (там же, § 10).

Важные вариации снова получаются заменой рациональной эквивалентности на алгебраическую, гомологическую или численную эквивалентность, как в замечании 16.1.

Пример 16.1.13. Теорию соответствий можно распространить на фактормногообразия, если допустить рациональные коэффициенты. Если где неособые, и как в примере 8.3.12, то декартово произведение отождествляется с фактор-многообразием многообразия по Можно построить такие а а, а, как в этом разделе, пользуясь произведением-пересечением для фактормногообразий, описанным в примере 8.3.12. В частности, если - морфизм, можно определить обратный образ

как где график морфизма Это гомоморфизм колец с обычной функториальностью и формулой проекции для собственных морфизмов если тождествен, то и тождествен. (Один из способов проверить это — показать, что совпадает с гомоморфизмом обратного образа, построенным в примере 17.4.10.)

В частности, определение произведения-пересечения в примере 8.3.12 не зависит от представления многообразия как факторпространства. Кажется правдоподобным, что это же верно для тонких произведений-пересечений и, следовательно, для рациональных индексов пересечения.

Пример 16.1.14. Пусть а: -соответствие, а — цикл цикл на К Тогда

(Оба равны с. 289.)

Если неприводимое соответствие и проекции, то

Здесь обратные образы из § 8.1. (Если вложение то Применим для доказательства первого утверждения; применим инволюцию для вывода второго.)

Если - морфизмы, то (ср. [Lieberman 2], с. 1168)

Пример 16.1.15. Формула Лефшеца для неподвижных точек. Формализм этого раздела годится также для гомологических соответствий а между компактными ориентированными многообразиями Чтобы не связываться со знаками, ограничимся а с четным ; группы когомологий берутся с рациональными коэффициентами. Такой элемент а определяет

как в определении 16.1.2, где для определения используется двойственность Пуанкаре. При изоморфизме Кюннета это соответствует изоморфизму

Если то класс диагонали соответствует тождественному отображению. Формула Лефшеца для неподвижных точек утверждает, что для а.

Это дает формулу для числа виртуальных неподвижных точек а (ср. [Kleiman 2]).

Если а соответствует морфизму получаем теорему о неподвижных точках для Имеются формулы для индексов пересечений, входящих в левую часть. Например, в дифференцируемом случае, если изолированная неподвижная точка и 1 не является собственным значением то индекс пересечения равен в зависимости от знака определителя

Если многообразия алгебраические и а — алгебраический цикл, из утверждений § 19.1 следует, что топологические и алгебраические вычисления совпадают, как и понятия а, а пример 19.2.7. Заметим, однако, что в правой части формулы для неподвижных точек обязательно содержатся неалгебраические циклы.