2.1. Дивизоры Картье и дивизоры Вейля

Пусть X есть -мерное многообразие. Дивизор Вейля на X — это -цикл на Дивизоры Вейля образуют группу из § 1.3.

Дивизор Картье на X определяется данными где образуют открытое покрытие ненулевые функции из

подчиненные условию, что обратимая (т. е. регулярная и нигде не обращающаяся в нуль) функция на Рациональные функции называются локальными уравнениями дивизора они определены с точностью до умножения на обратимую функцию на дополнение

Если дивизор Картье на подмногообразие в X коразмерности 1, положим

Здесь функция порядка на определяемая V, как в § 1.2, a f - локальные уравнения дивизора на любом открытом аффинном множестве пересекающем определение корректно, так как определены с точностью до умножения на единицу. Определим ассоциированный дивизор Вейля полагая

Сумма здесь берется по всем подмногообразиям коразмерности 1; как и в § 1.2 только для конечного числа V (дополнение 13.4.3).

Дивизоры Картье образуют абелеву группу если определяются данными и сумма определяется посредством . В силу аддитивности функции порядка отображение является гомоморфизмом

Любая функция определяет главный дивизор Картье все локальные уравнения которого совпадают с Заметим, что дивизор Вейля, ассоциированный с есть в точности цикл определенный в § 1.3.

Два дивизора линейно эквивалентны, если они отличаются на главный дивизор: Из определения рациональной эквивалентности следует, что тогда циклы рационально эквивалентны. Если обозначает группу классов дивизоров Картье по отношению линейной эквивалентности, возникает гомоморфизм

Этот гомоморфизм в общем случае не будет ни инъективным, ни сюръективным (см. примеры 2.1.1-2.1.3).

Как мы увидим, дивизоры Картье можно пересекать с

произвольными циклами — это соответствует тому факту, что элементы определяют классы когомологий.Дивизоры Вейля в общем случае не обладают такой способностью — они определяют классы гомологий (см. пример 2.4.5).

Носитель дивизора Картье А, обозначаемый или это объединение всех подмногообразий , таких, что локальное уравнение дивизора А в локальном кольце необратимо. Это замкнутое алгебраическое подмножество в

На произвольной схеме X эффективный дивизор Картье — это подсхема, локально задаваемая одним уравнением, которое к тому же не является делителем нуля. Понятие дивизора Картье также распространяется на схемы (дополнение но нам это не понадобится.

Пример 2.1.1 (ср. Если X — нормальное (соотв. локально факториальное) многообразие, то инъективны (соотв. являются изоморфизмами). Отсюда следует, например, что с образующей (1) (ср. пример 1.9.3).

Пример 2.1.2. Пусть X — плоская проективная кривая над С с однородным уравнением Тогда и гомоморфизм сюръективен; ядро его изоморфно аддитивной группе С. Если X — кривая ядро есть С.

Пример 2.1.3. Пусть X — поверхность в заданная уравнением Прямая (образующая конуса) определяет дивизор Вейля, который не является дивизором Картье. В этом случае

Пример 2.1.4. Пусть X — проективная схема и обильное линейное расслоение над Для -мерного подмногообразия и ненулевых сечений ограничения расслоения на V с дивизорами нулей циклы рационально эквивалентны. Группа порождается циклами когда меняются (Если то при большом найдется сечение такое, что дивизор эффективен на