14.5. Многочлены Шура

Пусть последовательности коммутирующих переменных, связанные тождеством

Например, классы Чженя векторного расслоения а классы Сегре для Если для векторных расслоений то

Разбиением называется конечная последовательность неотрицательных целых чисел, расположенная в порядке невозрастания. целое число, которое разбивается.

С разбиением X связывают диаграмму Юнга, состоящую из клеток в строке сверху, причем самые левые клетки расположены одна под другой. Например,

— диаграмма Юнга разбиения (4, 4, 2, 2, 1). Диаграмма Юнга для сопряженного разбиения получается заменой строк на столбцы в рассматриваемой диаграмме Юнга. Так, (5, 4, 2, 2) сопряжено к (4, 4, 2, 2, 1). Сопряженное к X разбиение обозначается

Для разбиения обозначим через

соответствующий многочлен Шура (или -функцию); он однороден веса где берется с весом Заметим, что добавление любого числа нулей к X не меняет

Лемма 14.5.1. Пусть сопряженные разбиения. Тогда

Это доказано в лемме А.9.2. Отметим несколько следствий. Для имеем

Если X — разбиение на d равных кусков величины лемма дает

(Второе равенство вытекает из последнего шага доказательства леммы А.9.2.)

Если такое целое число, что для всех то

(В самом деле, если сопряжено с X, то и поэтому первая строка матрицы с определителем нулевая.)

Лемма 14.5.2. Пусть разбиение и неотрицательное целое число. Тогда

где суммирование производится по всем разбиениям таким, что

Диаграммы Юнга для разбиений встречающихся в приведенной выше формуле, можно описать так. Они получаются добавлением новых клеток к диаграмме Юнга для X справа от данных строк, причем строки новой диаграммы имеют невозрастающую длину, и никакие две новые клетки не расположены одна под другой. Доказательство см. в лемме А.9.4.

Правило для перемножения произвольных -функций намного сложнее. Таблицей Юнга называется диаграмма Юнга вместе с набором символов в ее клетках. Простое -расширение таблицы получается так: сначала мы добавляем новых клеток в соответствии с предписанием из предыдущего абзаца, а затем во все новые клетки помещаем один и тот же новый символ, -расширение таблицы есть результат последовательных простых расширений; при первом добавляется клеток с символом затем клеток с символом и т. д. Для данного -расширения выпишем дополнительные символы в том порядке, в каком они расположены справа налево в первой строке, затем справа налево во второй и т. д. Получится одночлен

где Расширение называется строгим, если для каждых количество встречающихся среди первых символов этого одночлена, не меньше числа а встречающихся среди тех же первых символов.

Лемма 14.5.3. Пусть разбиения. Тогда

где суммирование идет по всем разбиениям Здесь в обозначает количество таблиц Юнга на диаграмме

Юнга являющихся строгими -расширениями диаграммы для

Это правило вычисления коэффициентов известно как правило Литтлвуда — Ричардсона. Литературу см. в дополнении

Пример 14.5.1 ([Lascoux 7]; ср. [Macdonald 3], с. 44). Пусть векторное расслоение ранга Пусть Тогда в обозначениях примера А.9.1

В частности, получаем формулы Джамбелли

пусть корни Чженя. Тогда

В последних двух шагах используется пример и (с). Доказательство (b) аналогично.)

Пример 14.5.2 ([Lascoux 7]; ср. [Macdonald 3], с. 52). Пусть векторные расслоения рангов пит. Тогда

где суммирование идет по разбиениям

Здесь а коэффициенты такие, как в примере А.9.1. (Эта формула следует из примера А.9.2(с).) Для эта формула переходит в формулу из примера 3.2.2.

Пример 14.5.3. Пусть разбиения длины и предположим, что для всех Тогда

Эта формула, восходящая к Якоби, была переоткрыта Портеусом; ср. [Lascoux 3], [Macdonald 3], с. 43.

Пример 14.5.4. Косые функции Шура (ср. [Lascoux 5], [Stanley 1], [Macdonald 3], с. 53 и далее). Пусть разбиения с Положим

Тогда

где числа из леммы 14.5.3, а сумма берется по всем разбиениям