В.5. Проективные конусы и расслоения

Литература к этому разделу: [EGA], II.8, [Н], II.7, и [Lascu - Scott 1].

В.5.1. Пусть градуированный пучок алгебр на схеме Предполагается, что каноническое отображение 0? в изоморфизм и что (локально) порождается пучком как -алгебра.

Тогда с можно связать две схемы над X: конус

и проективный конус с проекцией в Последняя схема называется также проективным конусом конуса С и обозначается

На имеется каноническое линейное расслоение, обозначаемое или Морфизм собственный

Если X — аффинная схема с координатным кольцом А, то можно отождествить с градуированной -алгеброй, также обозначаемой Пусть образующие модуля тогда для однородного идеала В этом случае С есть аффинная подсхема в заданная идеалом I, а подсхема в заданная тем же идеалом Расслоение является обратным образом стандартного линейного расслоения над В общем случае склеивается из таких локальных кусков.

Если сюръективный градуированный гомоморфизм таких градуированных пучков -алгебр, то существует замкнутое вложение и вложение причем ограничивается до

Вложение нулевого сечения задается гомоморфизмом дополнения из равным нулю на при и тождественным на

Если конус над морфизм, то определен обратный образ это конус над задаваемый пучком -алгебр Если , мы пишем просто

Каждое сечение пучка над X задает сечение линейного, расслоения над или обозначает линейное расслоение

B.5.2. Пусть переменная, градуированная алгебра, компонента которой равна

Соответствующий конус обозначается через Конус называется проективным пополнением конуса С. Элемент из определяет регулярное сечение расслоения над схема нулей которого канонически изоморфна Дополнение к канонически изоморфно С. При таком вложении в называется бесконечной гиперплоскостью.

В.5.3. Пусть С — конус над Тогда каждая неприводимая компонента конуса С есть конус над некоторым неприводимым подмногообразием называемым носителем Если X — аффинная схема с координатным кольцом А, то задается однородным простым идеалом (ср. VII.2). В этом случае

V как подмногообразие в X задается простым идеалом где алгебра над Эти конструкции склеиваются воедино и определяют структуру конуса и носитель и в случае неаффинной схемы Так как объединение носителей неприводимых компонент конуса С равно

Так как С плотен в имеется взаимно однозначное соответствие между неприводимыми компонентами и геометрические кратности соответствующих компонент совпадают. Если неприводимая компонента С, имеется каноническое замкнутое вложение отождествляющее с соответствующей неприводимой компонентой в В этом случае носитель есть образ при проекции в X.

В.5.4. Можно рассмотреть чуть более общую ситуацию, когда градуированный пучок алгебр порождается пучком но канонический гомоморфизм всего лишь сюръективен. В этом случае снова определяет конус С с морфизмом в Если X — подсхема в X, заданная ядром гомоморфизма то в силу предыдущей конструкции определяет конус С над назовем X его носителем. Удобно считать, что С — также конус над Конечно, в этом случае нулевое сечение может не продолжаться до морфизма из в С.

В.5.5. Векторное расслоение над X — это конус, ассоциированный с градуированным пучком где пучок сечений расслоения Проективное расслоение, связанное с это Существует каноническая сюръекция расслоений над которая дает вложение

Таким образом, проективное расслоение прямых в а универсальное, или тавтологическое, линейное подрасслоение. Вообще, если дан морфизм то разложение на эквивалентно указанию линейного подрасслоения (а именно, расслоения

Если векторное расслоение над линейное расслоение,

то существует канонический изоморфизм коммутирующий с проекциями; при этом

Замечание. Мы остановились на «старинном» геометрическом обозначении для Наше есть из

В.5.6. Если подрасслоение векторного расслоения с факторрасслоением имеется каноническое вложение Если проекция, композиция канонических отображений соответствует сечению расслоения Это сечение регулярно и его схема нулей есть .

В.5.7. Пусть векторное расслоение ранга над схемой Тогда существует расслоение Г)рассмана Grassd (Е) или -плоскостей в с проекцией и универсальным подрасслоением ранга d расслоения Расслоение называется также тавтологическим расслоением на Расслоение называется универсальным факторрасслоением, а

— универсальной точной последовательностью. Все это характеризуется следующим свойством универсальности: морфизм пропускается через тогда и только тогда, когда выделено подрасслоение ранга Имеется каноническое вложение Плюккера соответствующее линейному подрасслоению расслоения Построение см. в работах [EGA], 1.9.7, или [Kleiman 3]. Отметим, что .

В.5.8. Пусть проективное расслоение. Вложение соответствует вложению в Коядро этого вложения есть относительное касательное расслоение для над X:

(ср. [Манин 2], [Lascu - Scott 1]). Вообще, если с универсальными подрасслоением и факторрасслоением то

В самом деле, универсальная точная последовательность на определяет гомоморфизм «второй фундаментальной формы» (ср. [Altman - Kleiman 1], 1.3) из При дуализации это дает гомоморфизм проверка в локальных координатах показывает, что это изоморфизм.