6.2. Тонкие гомоморфизмы Гизина

Пусть регулярное вложение коразмерности -морфизм. Образуем расслоенный квадрат

Определим гомоморфизмы

при помощи формулы

где произведения-пересечения, построенные в предыдущем разделе. (Конечно, были построены как классы циклов на следуя нашему обычному соглашению (§ 1.4), мы используем то же обозначение и для их образов в большей схеме

Чтобы убедиться, что пропускается через рациональную эквивалентность, приведем другое определение. Нормальный конус является замкнутым подконусом в Тогда это композиция

где гомоморфизм специализации из § 5.2, второе отображение индуцировано вложением отображение Гизина для нулевого сечения (§ 3.3). Согласно предложению 5.2, , а значит, и пропускается через рациональную эквивалентность. Индуцированные гомоморфизмы

называются тонкими гомоморфизмами Гизина. Мы также пишем иногда вместо Если то они называются просто гомоморфизмами Гизина и обозначаются через вместо

Более точное обозначение для тонкого гомоморфизма Гизина было бы или мы предпочли использовать одно обозначение для всех таких гомоморфизмов, уточняя при необходимости, где они действуют.

Теорема 6.2. Рассмотрим расслоенную диаграмму

где -регулярное вложение коразмерности d.

(a) (прямой образ). Если собственный морфизм и а то

(b) (обратный образ). Если плоский морфизм относительной размерности то в

(с) (согласованность). Если - также регулярное вложение коразмерности то в

Доказательство. Утверждения (а) и (b) следуют из соответствующих свойств классов Сегре (предложение 4.2). При установлении (а) можно считать, что Пусть Тогда

Доказательство (b) аналогично и оставляется читателю. Что касается

(с), то достаточно заметить, что когда — регулярное вложение той же коразмерности, что и то совпадает с нормальным расслоением к В самом деле, если пучки идеалов, канонический эпиморфизм на должен быть изоморфизмом, потому что оба пучка локально свободны и одного ранга.

Замечание 6.2.1. Если в расслоенном квадрате

регулярные вложения коразмерности важным случаем утверждения (с) является формула

для а Если не регулярное вложение или регулярное вложение коразмерности то зависит от а не только от (ср. с теоремой 6.3).

Замечание 6.2.2. Согласно свойству (а), для вычисления достаточно вычислить для любого многообразия V, которое собственно и бирационально отображается на Например, можно раздуть V вдоль и свести дело к случаю, когда —дивизор на V (или Простая формула для пересечения в этом случае дается в следующем разделе. Отметим, что даже если мы исходим из подмногообразий такие редукции возможны только тогда, когда произведения-пересечения имеются для многообразий, отображающихся в

Важный частный случай свойства когда является

открытой подсхемой в К. Например, часть произведения-пересечения расположенную на связной компоненте X, можно вычислять, заменяя открытой окрестностью этой компоненты.

Пример 6.2.1. Произведение-пересечение из §6.1 определяет класс для произвольной равноразмерной схемы V, т. е.

(Чтобы увидеть это, достаточно показать, что

где - гомоморфизм специализации. Из конструкции данной в доказательстве предложения 5.2, следует, что

Если цикл на V, то, как в лемме Применение предложения завершает доказательство.) В частности, если равноразмерная схема, то

Пример 6.2.2. Если равноразмерная схема, предыдущий пример надо модифицировать. Пусть -раздутие вдоль его исключительный дивизор и проекция; тогда

В этом случае, однако, может не совпадать с (ср. пример 2.6.4).

Тем не менее, если обозначает -мерную компоненту всегда верна формула

где нулевое сечение (Следует применить пример 1.7.3 к вложению

Пример 6.2.3. Если векторное расслоение ранга d над X, то нулевое сечение является регулярным вложением коразмерности d с нормальным расслоением Гомоморфизм Гизина для этого сечения совпадает с гомоморфизмом Гизина, построенным в определении 3.3. (Достаточно проверить, что где -проекция, а это следует из теоремы

Пример 6.2.4. Пусть такая же диаграмма, как в теореме 6.2(a). Пусть -замкнутое подмножество в индуцированный морфизм из Пусть V — подмногообразие в Тогда

Однако отдельно взятые члены разложения не обладают такой «бира-хдаональной инвариантностью».

Пример 6.2.5. Рассмотрим диаграмму из начала параграфа. Для любой открытой подсхемы и -мерного подмногообразия класс пересечения ограничивается до где Кроме того, для любого замкнутого подмножества если то ограничение

переводит Например, если это ограничение является изоморфизмом, так что часть пересечения расположенная на определяется частью расположенной на

Пример 6.2.6. Пусть диагональное вложение в множителей). Пусть обозначает образующую группы заданную -плоскостью в (ср. пример 2.5.1). Тогда гомоморфизм Гизина определяется формулой где (Достаточно взять линейные пространства в общем положении и применить теорему Если замкнутые подсхемы в чистой размерности то класс циклов в степень которого равна произведению степеней

(См. гл. 8 и 12, где подробнее говорится о теореме Безу.)

Пример 6.2.7. Пусть векторное расслоение ранга d над схемой его регулярное сечение, схема нулей сечения (регулярное) вложение Пусть а есть -цикл на Тогда

в где нулевое сечение расслоения (Надо применить теорему к диаграмме

и к аналогичной диаграмме, в которой поменялись местами.)

Пример 6.2.8. Результаты этого параграфа с небольшими изменениями распространяются на случай, когда регулярное, но не обязательно замкнутое вложение. Пусть разлагается на регулярное замкнутое вложение и открытое вложение Для заданного расслоенного квадрата определим как композицию где первое отображение — гомоморфизм ограничения, а второе — гомоморфизм Этот гомоморфизм не зависит от выбора (Это частный случай отображения Гизина, построенного в § 6.6.)

Пример 6.2.9. Операции теории пересечений согласованы с расширением основного поля. Для алгебраической схемы X над полем К обозначим через схему над полем Для -цикла на X пусть обозначает -цикл на Это определяет гомоморфизм а из согласованный с собственным прямым образом, плоским обратным образом, классами Чженя и тонкими гомоморфизмами Гизина. (Если конечное расширение поля К, то не что иное, как плоский обратный образ а при проекции в этом случае утверждения были доказаны в основном тексте. Доказательства в общем случае аналогичны.)