12.3. Тонкая теорема Безу

На имеется точная последовательность (ср. дополнение В.5.8)

Поэтому обильно, порождается сечениями и также порождается сечениями. Таким образом, все результаты предыдущего раздела справедливы для произвольных пересечений на

Теорема 12.3. Пусть равноразмерные подсхемы в Пусть отмеченные многообразия пересечения

— каноническое разложение, Тогда представляются положительными циклами на В частности,

Пример 12.3.1. Пусть неприводимые компоненты Так как каждая отмеченная,

как мы уже видели в примере 8.4.6. (Чтобы получить это неравенство и в случае вложим линейно в и пересечем конусы над с вершиной не лежащей в

Пример 12.3.2. (а) Предположим, что мы знаем некоторые отмеченные многообразия пересечения схем на а также соответствующие Если

то это все отмеченные многообразия. В частности,

(b) Пусть гиперповерхности в и гладкая кривая степени d и рода является схемной связной компонентой Предположим, что

Тогда (Надо использовать пример

(c) Каноническое вложение негиперэллиптической кривой рода 5 имеет степень 8 в Если кривая не тригональная, рассуждения, использующие теорему Римана — Роха, показывают, что существуют три квадрики, содержащие эту кривую как компоненту их пересечения. Из сказанного выше следует, что такая кривая есть полное пересечение трех квадрик (ср. [Griffiths - Harris 1], с. 572).

Пример 12.3.3. Рассмотрим пересечение гиперповерхностей

Ни с чисто -мерной подсхемой

Пусть отмеченные многообразия произведения-пересечения построенные, как в примере 12.2.7. Пусть каноническое разложение. Если то

(Применим теорему замечая, что для -цикла

Пример 12.3.4. Пусть неособая кривая есть неприводимая компонента пересечения трех поверхностей Ни Пусть

Даже если две из этих поверхностей трансверсально пересекаются в общей точке кривой постулированный вклад в пересечение

может оказаться больше, чем настоящий вклад в это пересечение.

Пусть, например, Постулированный вклад каждой из этих трех прямых в пересечение равен 4, хотя полный индекс пересечения равен лишь 8. На самом деле вклад каждой прямой равен 2; точка их пересечения также отмеченная, и ее вклад в полное пересечение равен 2. (Согласно предыдущему примеру, вклад каждой прямой не меньше 2. По симметрии они все одинаковы. В силу положительности каждого вклада он не больше двух.)

Пример 12.3.5. Граница редко оказывается точной, если имеет избыточную размерность, т. е. (ср. пример 12.3.3). Может случиться, что все неприводимые компоненты пересечения имеют размерность и

(Тогда все неприводимые компоненты Так будет, если существует линейное пространство содержащее все многообразия пересекаются в общем трансверсально как подмногообразия в Однако по существу это единственная возможность. Если никакая пара многообразий не содержится в гиперплоскости и неприводимые компоненты пересечения то, как показал Лазарсфельд,

где В крайнем случае, когда многообразие, порождающее точка на V, получается хорошо известное неравенство

(ср. пример 8.4.6). Если кривая, а прямая, то утверждает, что никакая секущая не может пересекать V более чем в точках.

Пример 12.3.6. Пусть неособые многообразия в (схемно) и

Пусть избыточное нормальное расслоение для пересечения

Для каждой точки пусть А — линейная оболочка (проективных) касательных пространств к в так что есть -плоскость в Для и общей -плоскости положим

Тогда обладает естественной структурой схемы и для общей плоскости и

(Пусть соответствует подпространству Рассмотрим диаграмму

Тогда множество точек, в которых композиция имеет ранг - После подкрутки на это множество точек, где сечений расслоения становятся зависимыми (ср. пример

В частности, тогда и только тогда, когда есть постоянная -плоскость. Согласно примеру 12.3.5, это может случиться только тогда, когда содержатся в -плоскости.

В случае многообразия полярные и дает соотношение между полярными классами и классами Чженя многообразия X (ср. пример 14.4.15), тогда как (iii) превращается в равенство

если

Пример 12.3.7. В ситуации теоремы 12.3 пусть неприводимая компонента сумма тех для которых Тогда

где обозначает кратность вдоль (пример 4.3.4). Если схемы Коэна — Маколея, то

где длина локального кольца пересечения вдоль В частности, если многообразия Коэна — Маколея, то

где сумма берется по неприводимым компонентам пересечения (Применяем пример 12.2.9.) Заметим, что (iii) может нарушаться, если одно из не является многообразием Коэна — Маколея, даже если пересечение собственное (пример 7.1.5).