8.3. Кольцо пересечений

Для неособого -мерного многообразия положим

При такой индексации по коразмерности введенное в § 8.1 произведение приобретает вид

т. е. степени складываются. Аналогично, если дан морфизм -произведение гл принимает вид

Если X также неособо, обратный образ сохраняет степень:

Пусть обозначает класс, соответствующий Положим Иногда мы пишем вместо или когда градуировка не играет роли.

Предложение Если неособое многообразие, произведение-пересечение превращает в коммутативное ассоциативное кольцо с единицей 1. Сопоставление

является контравариантньм функтором из неособых многообразий в кольца.

(b) Если морфизм схемы X в неособое многообразие то -произведение

превращает в А -модуль.

(с) Если собственный морфизм неособых многообразий, то

для любых классов на на

Доказательство. Ассоциативность и коммутативность следует из предложения 8.1.1 (а) и (b), где тождественное отображение Тот факт, что 1 — единица, вытекает из следствия 8.1.3. Функториальность обратного образа следует из предложения где Формула проекции (с) есть частный случай предложения Предложение 8.1.1(a) в случае, когда тождествен на дает формулу

где Эта формула показывает, что является А Умодулем; полагая мы получаем, что сохраняет произведения, т. е. утверждение

Замечание 8.3. Если циклы на неособом многообразии

где диагональное вложение раз). Это следует из записи и применения теоремы 6.5 (см. также пример 8.1.9).

Кольцо часто называется кольцом Чжоу многообразия и обозначается

Пример 8.3.1. Пусть морфизм, где неособое, равноразмерное многообразия. Если плоский морфизм или регулярное вложение, или л.п.п. морфизм, то -произведение совпадает с обратным образом Гизина построенным в § 1.7, 6.2 и 6.6 соответственно. (Надо использовать предложение 8.1.2.)

Пример 8.3.2. Пусть даны морфизмы где неособые многообразия. Тогда (предложение 8.1.1(a))

для любых

Пример 8.3.3. Пусть многочлен от классов Чженя векторных расслоений над неособым многообразием

Предположим, что Тогда для любого морфизма и любого имеем . (Согласно примеру 8.1.6, Поэтому мы ничего не теряем при отождествлении с его образом в Этот аспект двойственности Пуанкаре будет формализован в гл. 17. Если однородный многочлен взвешенной степени то

Пример 8.3.4. Пусть векторное расслоение ранга над неособым многообразием и : -проекция. Тогда существует изоморфизм градуированных колец

Здесь соответствует (Это следует из теоремы 3.3(b).)

Пример 8.3.5. Пусть изоморфизм неособых многообразий с обратным Тогда

В частности, сохраняет произведения. (Согласно формуле проекции,

Пример 8.3.6. Пусть неособое многообразие, открытая подсхема, причем при ограничении на обращается в нуль в Тогда и , равны нулю в . В частности, если покрывают У, то (Пусть Согласно предложению представляется циклом на Тонкое произведение-пересечение §8.1 дает тогда класс на представляющий

Пример 8.3.7. Пусть неособые многообразия. Тогда внешнее произведение

является гомоморфизмом колец, сохраняющим градуировку. (Надо использовать пример 8.1.4.) Если это изоморфизм.

Пример 8.3.8. Пусть вложение Сегре. Индуцированное отображение из переводит 1 в Для любой поверхности степени d имеем Поэтому неприводимая кривая бистепени не является — даже теоретико-множественно — пересечением X с поверхностью в

Пример 8.3.9. Пусть

— диаграмма раздутия, как в § 6.7, в которой а поэтому и - неособые многообразия. Кольцевая структура на определяется следующими правилами:

Пример 8.3.10. Пусть неособая поверхность, а раздутие точках. Тогда

где исключительные дивизоры, и Умножение устроено так: где при

Пример 8.3.11. Пусть - полная поверхность -разрешение ее особенностей. Предположим, что связно для любой точки (например, V нормальна). Для любой неприводимой кривой А на V существует единственный -цикл А, расположенный на исключительном множестве X, с рациональными коэффициентами, такой, что если А — собственный прообраз А, то

для любой неприводимой компоненты исключительного множества (пример 7.1.16). Положим Существует единственный гомоморфизм, обозначаемый а из который переводит для неприводимой кривой А. (Воспользоваться примером Это определяет произведение

по формуле которое симметрично, билинейно и не зависит от выбора Для любого дивизора Картье на есть образ целочисленного класса (определенного в § 2.3).

Пример 8.3.12. Пусть фактормногообразие неособого многообразия по конечной группе его автоморфизмов. Тогда

также можно превратить в кольцо. В самом деле, в этом случае имеется изоморфизм (пример 1.7.6)

так что есть кольцо -инвариантов На самом деле, если подмногообразия в X, можно построить тонкий класс пересечения в В обозначениях примера 1.7.6

где проекция на В частности, для любой -мерной компоненты пересечения имеется рациональный индекс пересечения а именно коэффициент при в классе (ср. [Matsusaka 2], [Briney 1]). Заметим, что произведение определяется тем, что для циклов на X и с на По поводу независимости определений от представления X как фактормногообразия см. примеры и 16.1.13.

Мамфорд строил кольцевую структуру в где X — пространство модулей стабильных кривых рода над полем нулевой характеристики. Он пользовался тем фактом, что локально (в этальной топологии) X является фактормногообразием неособого многообразия по конечной группе и что глобально X есть фактормно-гообразие многообразия Коэна — Маколея по конечной группе, которое доминирует локальные карты.

Пример 8.3.13 (ср. § 3). Пусть X— квазипроективная схема. Тогда можно определить градуированное кольцо

здесь предел берется по всем парам где неособая квазипроективная схема, а морфизм Это контравариантный функтор из квазипроективных схем в градуированные кольца. Существуют (пример 8.3.2) -произведения с формулой проекции для собственных морфизмов

Любое векторное расслоение над X имеет классы Чженя обладающие формальными свойствами из § 3.2, такие, что для любого морфизма хсовпадает с классом определенным в § 3.2. (Существенными для этого являются следующие факты (там же, § 3.2): (i) существуют морфизм где неособое многообразие, и векторное

расслоение над такое, что если даны другие и то существуют неособое многообразие и морфизмы такие, что (iii) любая точная последовательность векторных расслоений над X является обратным образом точной последовательности на некотором неособом многообразии

Вообще, если схема X обладает замкнутым вложением в неособую схему, можно определить как где предел берется по всем морфизмам с неособым многообразием Выполняются те же свойства, что и в квазипроективном случае. используется лемма 18.2.

Другие «теории когомологий», спаренные с Аобсуждаются в гл. 17.

Пример 8.3.14. Линейчатые многообразия (см. [Levi 1]). Пусть неособая проективная кривая, векторное расслоение ранга d над с проекцией : Пусть V — векторное пространство размерности и пусть морфизм, такой, что для некоторого линейного расслоения над Слои проекции вкладываются как линейные подпространства в Пусть Для любого подмногообразия размерности положим

(В нулевой характеристике число образующих, слоев проходящих через общую точку Положим

есть степень как подсхемы в для общей точки Тогда

где а есть -цикл на степени (Следует воспользоваться теоремой 3.3(b).) Если подмногообразия в X, такие, что то

где

Пусть - неособая кривая рода и -линейчатая поверхность касательных прямых где расслоение «главных частей», построенное так, что следующая диаграмма имеет точные строки и столбцы:

В этом случае Если то степень двойственной кривой.

См. [Beauville 2], III, по поводу дальнейших сведений о линейчатых поверхностях.