Замечания и литература

Более чем столетие задача Римана — Роха стимулировала развитие теории пересечений и поиски инвариантов алгебраических многообразий. Начало было положено неравенством Римана

для дивизора на неособой проективной кривой рода и интерпретацией Рохом остаточного члена как размерности пространства Для поверхностей аналоги неравенства Римана были получены Нётером, Кастельнуово и Севери (ср. [Severi 13, 20], [Zariski 4]), в то время как Цейтен и Сегре (ср. пример 15.4.4) обобщили понятие рода. Обзор этой ранней истории см. в работе [Zariski 1]. В полной общности арифметический род изучался Севери ([Severi 3, 20]).

Понятие канонического дивизора с кривых на поверхности перенес Нётер. Севери ([Severi 6]) первым нашел его аналог в коразмерности, большей 1, когда определил канонический -цикл на поверхности как множество нулей голоморфной -формы для поверхностей, имеющих такие -формы. После этого последовала серия работ Сегре, Тодда и Эгера, где были построены канонические классы в любой размерности на произвольном неособом проективном многообразии -й канонический класс у этих авторов равен

хотя это было доказано лишь после того, как была достаточно развита техника классов Чженя ([Nakano 1]). Остроумными вычислениями Тодд ([Todd 4]) нашел формулы для арифметического рода в терминах канонических классов (следствие 15.2.2) и доказал их во многих случаях.

Большая работа была проделана Сегре и Тоддом по поводу формулы, связывающей канонические классы многообразия и его моноид ального преобразования. Во многих случаях такие формулы были доказаны, и в работе [Todd 7] была предложена гипотетическая общая

формула. По поводу ранней истории канонических классов можно предложить статью [Todd 8].

Два продвижения оказались существенными для современного решения этих проблем. Первое — введение методов теории пучков, первоначально Кодаирой и Спенсером для комплексных многообразий и затем Серром для алгебраических многообразий. Второе — развитие теории характеристических классов векторных расслоений в топологии Уитни, Штифелем, Понтрягиным и Чженем. (Интересно, что изучение канонических классов в алгебраической геометрии и классов Штифеля — Уитни в топологии началось почти одновременно и сопровождалось похожими геометрическими конструкциями вроде особенностей проекций в объемлющем проективном или евклидовом пространстве еще до того, как были установлены контакты между этими школами.)

Общая формула (следствие 15.2.1) для эйлеровой характеристики векторного расслоения над неособым комплексным проективным многообразием была дана и доказана Хирцебрухом [Hirzebruch 1], который использовал результаты Тома о кобордизмах. Третье издание книги Хирцебруха содержит полезные исторические замечания в конце глав и дополнение Шварценбергера с применениями и последующей историей. Для поверхностей и трехмерных многообразий другие доказательства следствия 15.2.2 были даны в статьях [Piene 5] и [Piene - Ronga 1].

Формулировка Гротендика задачи Римана-Роха (ср. [Borel-Serre 1], [SGA 6], Exp. 0) оказала влияние на многие разделы математики. Группы Гротендика и -теория явились следствием этой работы. Переход от формулы для индивидуального многообразия к формуле для морфизма между многообразиями и конструкция естественного преобразования функторов имели глубокие последствия. В это же время, используя похожие теоретико-пучковые и геометрические конструкции, Уошницер ([Washnitzer 2]) дал аксиоматическую характеризацию арифметического рода (ср. пример 15.2.10). Некоторые недавние применения ГРР можно найти в работах [Harris - Mumford 1] и [Arbarello - Cornalba - Griffiths - Harris 1].

Для комплексных проективных многообразий формула Римана — Роха для алгебраических пучков и морфизмов эквивалентна в силу теорем GAGA Серра ([Serre 3]) соответствующей формуле для аналитических пучков и морфизмов. Обобщение ГРР на вложения комплексных многообразий со значениями в топологической -теории было дано в статье [Atiyah - Hirzebruch 3]. Другое далеко идущее обобщение формулы Хирцебруха — теорема Атьи и Зингера об индексе из работы [Atiyah - Singer 1]. В статье [O’Brian - Toledo - Tong 3] ГРР

обобшена на комплексные многообразия со значениями в когомологиях

Доказательство ГРР, данное в этой главе, есть упрощение идей работ [Baum - Fulton - MacPherson 1, 2], использующее деформацию к нормальному расслоению. Обобщение на непроективные многообразия над произвольным основным полем зависит в первую очередь от наличия адекватной теории пересечений в такой общности. Тогда можно воспользоваться леммой Чжоу и теоремой Хиронаки о разрешении особенностей, чтобы завершить доказательство в нулевой характеристике (ср. пример 15.2.9); этим замечанием я обязан Клейману и Жилле. В произвольной характеристике ГРР для неособых многообразий можно получить из теоремы Римана — Роха для любых особых многообразий (см. гл. 18).

Формула Римана — Роха без знаменателей (теорема 15.3) была предложена Гротендиком в качестве гипотезы и доказана им в нулевой характеристике общий случай доказан в работе [Jouano-lou 2]. Общая формула для классов Чженя раздутия была выведена из ГРР Портеусом ([Porteous 1]) после концептуальных упрощений Ван де Вена ([Van de Ven 1]); доказательство Портеуса давало равенство модулю кручения, пока не была установлена теорема Римана — Роха без знаменателей. В работе [Lascu - Scott 1, 2] дано доказательство, не использующее теорему Римана — Роха. Мамфорд, Юанолу, Ласку и Скотт использовали пространство, которое мы строили в гл. 5, как тотальное пространство деформации к нормальному расслоению; дальнейшие упрощения можно отнести за счет полной реализации возможностей самой деформации.

Можно дать более концептуальное доказательство ГРР для проекции хотя и с потерей краткости. См. [Baum - Fulton - MacPherson 2], доп. 3, или [O’Brian - Toledo - Tong 3].

Применение геометрии деформации к нормальному расслоению к сигнатуре, как в примере 15.2.9, было указано Хирцебрухом. Пример 15.2.18 представляет собой решение Харриса вопроса Грина. Большинство других примеров являются стандартными следствиями теоремы Римана — Роха, по крайней мере в случае проективных многообразий над алгебраически замкнутым полем.