2.5. Класс Чженя линейного расслоения

Пусть линейное расслоение над схемой Для -мерного подмногообразия ограничение расслоения на К изоморфно для некоторого дивизора Картье С на V, определенного с точностью до линейной эквивалентности (§ 2.3). Дивизор Вейля корректно определен как элемент из который мы обозначим через

Продолжая по линейности, мы получаем гомоморфизм

из в Если для псевдодивизора на X, то из определения класса пересечения (§ 2.3) следует, что

Предложение 2.5. (а) Если а на X, то Поэтому имеет место индуцированный гомоморфизм

(b) (коммутативность). Если линейные расслоения над X и а есть -цикл на X, то в

(c) (формула проекции). Пусть собственный морфизм, линейное расслоение над X и а есть -цикл на Тогда в

(d) (плоский обратный образ). Пусть плоский морфизм относительной размерности линейное расслоение над X и а есть -цикл на Тогда в

(e) (аддитивность). Пусть линейные расслоения над X и а есть -цикл на Тогда в

и

Доказательство. Так как линейное расслоение над X определяет псевдодивизор на X с носителем X, то все утверждения вытекают из соответствующих фактов о псевдодивизорах, установленных в следствиях 2.4.1, 2.4.2 и предложении

Определение 2.5. Из предложения 2.5 следует, что произвольный многочлен от классов Чженя линейных расслоений действует на Если линейные расслоения над X, а однородный многочлен степени d с целыми коэффициентами, то

определен в В частности, для линейного расслоения над X и а

— элемент из определенный индуктивно при помощи формулы

Пример 2.5.1. Пусть есть -мерное линейное подпространство в Тогда для любого

Это дает другое доказательство того, что при (ср. пример

Степень -цикла а на определяется как такое целое число что а Иначе говоря,

Пример 2.5.2, Пусть X — замкнутая подсхема в размерности ее однородное координатное кольцо.

(a) Для достаточно большого размерность градуированной части есть многочлен от степени к, называемый многочленом Гильберта (ср. ). Определим как коэффициент при этого многочлена.

(b) Если неприводимые компоненты схемы кратности в X, то .

(c) Если X — неприводимое многообразие и гиперповерхность степени не содержащая X, то (Здесь теоретико-схемное пересечение, так что существует точная последовательность

(d) Для любой чисто -мерной подсхемы

(Если X — подмногообразие, то где гиперплоскость, не содержащая

Пример 2.5.3. Если циклы на линейное расслоение на проекция, то (ср. пример 2.3.1)

Пример 2.5.4. Операция однозначно определяется свойствами (с), (е) предложения 2.5 и нормализацией

для эффективных дивизоров Картье на нормальных многообразиях (Рассуждаем, как при доказательстве теоремы 2.4, случай 3.)

Пример 2.5.5. Если эффективный дивизор Картье на многообразии X, ограничение на есть нормальное расслоение и

Если другое линейное расслоение на X, ограничение которого на есть то не обязательно представляется предложение

Пример 2.5.6. Формулы Плюккера. Пусть С — неособая проективная кривая рода — подсхема, задаваемая пучком идеалов , где — пучок идеалов диагонали. Пусть первая и вторая проекции на С. Для линейного расслоения над С пучок главных частей это пучок на С, определяемый формулой

Тогда и для существует точная последовательность

Поэтому локально свободный пучок ранга и

Пусть теперь подпространство; существуют канонические гомоморфизмы векторных расслоений над С

Если т. е. линейная система, определяемая V, имеет размерность то есть сечение определенное с точностью до скаляров. Если то дивизор его нулей измеряет соприкосновение линейной системы. Тогда

О некоторых приложениях см. [Piene 1], [Laksov 4], [Eisenbud - Harris 1].