2.4. Коммутативность классов пересечений

Если дивизоры Картье на многообразии X с ассоциированными дивизорами Вейля можно образовать классы пересечений которые лежат в Когда пересекаются собственно, т. е. не содержит компонент коразмерности 1 многообразия X, равенство этих классов видно непосредственно. «Классический» метод сдвига или

в линейно эквивалентные дивизоры, которые пересекаются собственно, может быть использован — когда такой сдвиг возможен — для того, чтобы показать совпадение этих классов в или Однако он не дает их совпадения в которое нам нужно. Вместо этого мы предлагаем раздутиями на X прийти к такой ситуации, когда есть суммы дивизоров, каждые два из которых либо пересекаются собственно, либо равны (в обоих случаях коммутативность очевидна!).

Теорема 2.4. Пусть дивизоры Картье на n-мерном многообразии Тогда

Доказательство. Случай эффективны и пересекаются собственно. Пусть подмногообразие в X коразмерности а — локальные уравнения для Подмногообразия коразмерности 1, содержащие соответствуют простым идеалам высоты 1. Коэффициент при в равен Коэффициент при в равен Поэтому коэффициент при в равен

По лемме примененной к кольцу этот коэффициент есть ел Но по лемме

что по тем же причинам равно коэффициенту при (Короче, коэффициент при в обеих частях равен кратности обсуждаемой в примере

Прежде чем переходить к общему случаю теоремы, нам нужны некоторые приготовления. Пусть эффективные дивизоры Картье на многообразии Определим эксцесс пересечения по формуле

где максимум берется по всем подмногообразиям коразмерности 1. Таким образом, дивизоры пересекаются собственно в точности тогда, когда

Пусть схема пересечения . Это подсхема в X, которая локально задается идеалом где локальные

уравнения для Пусть раздутие многообразия X вдоль и исключительный дивизор. Локальные уравнения для делятся на локальные уравнения для так что

для некоторых эффективных дивизоров Картье на

Лемма 2.4. В этих обозначениях

(a) не пересекаются;

(b) если то строго меньше, чем

Доказательство. Утверждение локально по X, так что можно предполагать Тогда где Сюръективный градуированный гомоморфизм переводящий в в а, определяет замкнутое вложение X в

На самом деле X содержится в подсхеме из на которой обращается в нуль Пусть (1) — обратный образ стандартного линейного расслоения с на сечения расслоения (1), индуцированные Тогда С — это схема нулей сечения В самом деле, равенство показывает, что совпадает с на открытом множестве равенство показывает, что совпадает с на открытом множестве Так как это дает а также

Из этого описания видно, кроме того, что отображаются при изоморфно в подсхемы дивизоров соответственно. Поэтому если любое подмногообразие коразмерности 1, содержащееся в или то подмногообразие коразмерности 1 в X, содержащееся в Так как по предложению

и аналогичное неравенство справедливо для Предположим, что и пусть V с выбрано так, что

Тогда

Это противоречит тому, что

Для доказательства теоремы 2.4 нам нужен также следующий факт:

Пусть дивизоры Картье на собственный бирационалъный морфизм многообразий и где дивизоры Картье на X, такие, что Предположим, что теорема 2.4 верна для каждой пары и на Тогда она верна для на

Действительно, пусть индуцированный морфизм из По предложению 2.3

Вернемся к доказательству теоремы 2.4. Случай эффективны. Доказательство проводится индукцией по Начальный случай вытекает из доказанного выше случая 1. Если раздуваем X вдоль как в лемме 2.4. По утверждению (b) этой леммы и предположению индукции теорема верна для и Кроме того, очевидно, что теорема верна для а также для так как Применение завершает рассуждение.

Случай 3. Эффективен один из дивизоров Пусть эффективен и пусть пучок идеалов знаменателей для Если локально на дивизор задается уравнением то состоит из таких, что Пусть раздутие X вдоль подсхемы, определяемой и исключительный дивизор. Тогда для некоторого эффективного дивизора С на Так как и в силу случая 2 теорема верна для пар то применение завершает рассуждение.

Случай произвольны. Пусть раздутие вдоль знаменателей для как в случае 3. Тогда пары подходят под случай 3, и снова надо применить

Следствие 2.4.1. Пусть псевдодивизор на схеме X и а есть k-цикл на X, рационально эквивалентный нулю. Тогда

Доказательство. Пусть где подмногообразие в Заменим X на на представляющий его дивизор. Тогда

по теореме 2.4 и предложению соответственно.

Определение 2.4.1. Пусть псевдодивизор на схеме X, а замкнутая подсхема. Сопоставление а а определяет гомоморфизмы

Согласно следствию, 2.4.1, примененному к ограничению на для а на так что эти гомоморфизмы пропускаются через рациональную эквивалентность и определяют гомоморфизмы

также обозначаемые а а и называемые пересечением с

Следствие 2.4.2. Пусть псевдодивизоры на схеме Тогда для любого -цикла а на X

Доказательство. Заметим, что и пересечение с переводит Взяв и ограничивая на V, мы сводим все к теореме 2.4.

Определение 2.4.2. Пусть псевд о дивизоры на схеме Для а определим класс по индукции:

По следствию 2.4.2 это выражение не зависит от порядка А, а по предложению 2.3 линейно по каждой переменной Вообще для любого однородного многочлена степени d с целыми коэффициентами и любой замкнутой подсхемы , содержащей класс

определяется сложением членов в предыдущем определении. Он аддитивен по

Если полная схема, определим индекс пересечения по формуле

Аналогично, если полная схема, и такой же многочлен, как выше, положим

Если V — чисто -мерная подсхема в X, то мы пишем вместо Если X равноразмерна, можно сокращать дальше, употребляя вместо Например, мы можем писать вместо если X чисто -мерная. Аналогично, если X — чисто -мерная схема, однородный многочлен степени к, мы пишем вместо

Пример 2.4.1. Пусть : раздутие в начале координат. Пусть обратные образы х-оси и у-оси. Тогда главные дивизоры на X, так что и корректно определены как циклы на исключительном дивизоре (ср. замечание 2.3). Эти циклы различны, хотя и рационально эквивалентны на

Пример 2.4.2. Операции из определения 2.4.2 согласованы с собственными прямыми образами и плоскими обратными образами, как в предложении В частности, конструкция локальна в следующем смысле. Пусть открытая подсхема в X, содержащая обозначают ограничения А, а на

Тогда

Пример 2.4.3. Пусть собственный морфизм, псевдодивизоры на многочлен степени есть -цикл на X, такой, что полно. Тогда

Пример 2.4.4. Пусть V — неприводимая поверхность, особая точка на собственный морфизм и Предположим, что X неособа, изоморфно отображает на связно. Тогда (ср. [Mumford 1]) для любого эффективного ненулевого дивизора на X с носителем в (Убедимся в этом (ср. [Deligne - Katz 1], X). Пусть неприводимые компоненты Выберем рациональную функцию на V, так что

где дивизор, не содержащий ни одной компоненты и для всех причем для некоторого Пусть Заменяя положительным кратным, можно считать, что Тогда

Для установления второго равенства надо использовать следствие 2.4.1.)

Пример 2.4.5. Пусть однородные координаты на и X — особый конус с уравнением Пусть дивизор Картье на X, заданный уравнением Пусть I — прямая прямая и точка Тогда Из теоремы 2.4 следует, что не существует дивизора Картье на X, такого, чтобы был равен как цикл или как класс в

Пример 2.4.6. В конструкции из доказательства леммы 2.4 подсхема в заданная уравнением может оказаться неприведенной; в частности, она может отличаться от (Пусть )

Пример 2.4.7. Пусть доминантный морфизм из многообразия X на кривую простая точка на Тогда эффективный дивизор Картье на для любого -цикла а на (Надо уменьшить С, чтобы стал главным.)

Пример 2.4.8. Пусть — эффективные дивизоры Картье на -мерном многообразии X, пересекающиеся в конечном множестве. Предположим, что для каждой точки пересечения локальные уравнения для образуют регулярную последовательность Тогда

Это так, когда X — многообразие Коэна — Маколея (лемма Еще об этом индексе пересечения см. пример 12.4.8 и работу [Лома-дзе 1].

Пример 2.4.9. (ср. [Mumford 2], [Deligne - Katz 1], X). Пусть X — неособая поверхность, такие дивизоры Картье на X, что полно, так что определен индекс пересечения .

(a) Если эффективны и пересекаются собственно, то .

(b) Если эффективен и полон, то .

(c) Если эффективны, то .

(d) Если X полна, то .

В (c) и (d) обозначает эйлерову характеристику (ср. § 15.1). (Формулы билинейны по так что можно свести все к случаю, когда эффективны и либо пересекаются собственно, либо равны.)