8.4. Теорема Безу (классический вариант)

Пересечения на проективном пространстве особенно просты, но и особенно важны для приложений.

Мы уже видели в § 3.3, что изоморфно и имеет образующую где есть -мерное линейное подпространство в Степенью произвольного -цикла а на называется целое число такое, что

Иначе говоря, Это следует из того, что (предложение

Как и раньше,

Предложение 8.4 (теорема Безу). Пусть Если то

Доказательство. Из предыдущего видно, что кольцо изоморфно где А соответствует Отсюда непосредственно следует предложение. (Более прямое доказательство см. в примере 6.2.6.)

Пусть равноразмерные подсхемы в пересекающиеся собственно. Последнее значит, что неприводимые компоненты пересечения имеют коразмерность Тогда

где кратность пересечения (ср. пример 8.2.1). В этом случае теорема Безу утверждает, что

Например, если - гиперповерхность, а -подмногообразие в не содержащееся в то

причем

Другой важный случай был впервые рассмотрен Безу. Пусть гиперповерхности в с конечным числом общих точек. Для каждой такой точки пусть локальное кольцо пространства в точке по модулю идеала, порожденного локальными уравнениями многообразия (т. е. локальное кольцо схемы в точке ). Тогда

Действительно, в этом случае каждое многообразие является многообразием Коэна — Маколея, так что по предложению

Для (замкнутой) точки и

по лемме А. 1.3. Поэтому (3) следует из (1).

Пример 8.4.1. Пусть есть -мерное многообразие, гладкое над полем К. Если равноразмерные подсхемы в которые пересекаются собственно в конечном числе точек, то

Если гиперповерхности, пересекающиеся собственно, то

Пример Если 5 (соотв. ) - класс гиперплоскости в (соотв. ), то (пример 8.3.7)

(b) Пусть гиперповерхности в и пусть имеет бистепень (т. е. ). Тогда

где суммирование производится по всем перестановкам множества причем и

(c) Пусть диагональ в тогда

(Запишем и пересечем обе части этого равенства с где —линейные подпространства дополнительных размерностей, пересекающиеся трансверсально в точке. Другой способ: композиция канонических отображений

соответствует сечению расслоения схемой нулей которого является Старший класс Чженя этого расслоения есть

Пример 8.4.3. (а) Пусть вложение Сегре, где Если и — класс гиперплоскости на то Степень образа вложения равна

(b) Пусть есть -кратное вложение Веронезе, где — классы гиперплоскостей на и Тогда Если V является -мерным подмногообразием в степени то имеет степень

Пример 8.4.4. Пусть V — подмногообразие в размерности к, так что

где бистепени Определим следующим образом многообразие

Геометрически состоит из точек

где Алгебраически, если - биоднородный идеал в задающий V, то идеал, задающий

V, порождается теми элементами из I, которые однородны по всем переменным. Тогда размерность V равна

Пример 8.4.5. Пусть -неприводимые подмногообразия в размерности к и I соответственно. Пусть линейное соединение Это означает следующее. Пусть (соотв. линейное подпространство в на котором обращаются в нуль последние (соотв. первые) координат. Рассмотрим и определим как объединение всех прямых в соединяющих точки из V с точками из В обозначениях предыдущего примера Если идеалы, задающие то идеал, задающий порождается всеми

Пусть линейное подпространство в определенное так:

Вложение которое переводит в отображает изоморфно на и определяет изоморфизм схем

Кроме того, если то каноническая проекция отображает изоморфно на диагональ а на Эта проекция является гладким морфизмом и даже расслоением. Мы утверждаем, что

Для доказательства рассмотрим диаграмму

где По определению и предложению 6.5(b)

Но

по теореме 6.2(b) и следствию 8.1.1.

На самом деле, согласно примеру 6.5.4, каноническое разложение совпадает с каноническим разложением Заметим, в частности, что как и утверждается в примере 8.4.4.

Аналогичные утверждения верны для пересечения многообразий в ; их линейное соединение лежит в Таким образом, любое пересечение в проективном пространстве можно реализовать как пересечение подмногообразия с линейным подпространством (ср. [Gaeta 1]).

Пример 8.4.6. Пусть подмногообразия в Пусть неприводимые компоненты схемы Тогда

В частности, число неприводимых компонент схемы не больше, чем произведение степеней многообразий (Согласно предыдущему примеру, можно предполагать, что и что линейное подпространство. Представим как пересечение гиперплоскостей; по индукции можно предполагать, что гиперплоскость. Тогда либо либо после чего неравенство становится очевидным.) Уточнение этого неравенства обсуждается в § 12.3. По поводу приложений см. [Bass - Connell - Wright 1], с. 293.

Типичное классическое применение теоремы Безу — доказательство неравенства

где неприводимое подмногообразие степени не содержащееся ни в какой гиперплоскости. В самом деле, производя общие линейные сечения, можно свести все к случаю, когда X — кривая. Возьмем теперь точек на кривой и проведем через них гиперплоскость; тогда по теореме Безу

Пример 8.4.7. Пусть - проективная схема и подмногообразия в X степени относительно вложения Если конечно, то

(Надо использовать пример 8.4.6.) Заметим, что верхняя граница зависит только от класса (численной) эквивалентности

Пример 8.4.8. Пусть линейное подпространство в подмногообразие в и собственная компонента пересечения Если то для общего линейного подпространства коразмерности к любая точка на является собственной компонентой пересечения с V и

(Следует выбрать трансверсальным к и применить ассоциативность произведений-пересечений.) Вместе с примерами 8.4.5 и 8.2.6 это показывает, как кратности пересечений на произвольных неособых многообразиях можно определить при помощи кратностей пересечений многообразий дополнительных размерностей в одно из которых к тому же является линейным подпространством.

Пример 8.4.9. Пусть подмногообразия в с

(a) Пересечение непусто.

(b) Предположим, что каждое многообразие имеет нечетную степень. Тогда должно содержать -мерное многообразие нечетной степени. (Класс пересечения представляется циклом нечетной степени на В частности, для некоторой неприводимой компоненты пересечения ограничение на не является квадратом линейного расслоения.

Пример 8.4.10 (ср. [Fulton - MacPherson 2]). Пусть даны такие, что Не существует способа распределить число Безу по неприводимым компонентам по крайней мере если потребовать инвариантности этого распределения относительно автоморфизмов пространства Например, возьмем

Тогда - объединение двух прямых; инволюция, меняющая местами переводит и переставляет эти прямые. Поэтому каждой прямой следует приписать одно и то же число. Однако число Безу равно 9. (Дело в том, что точка пересечения двух прямых является отмеченным многообразием для пересечения )

Пример 8.4.11. Пусть -подмногообразие в размерности d над бесконечным полем К. Тогда существует линейное пространство коразмерности которое пересекает V собственно, и

(По индукции выберем d гиперплоскостей так что собственно пересекает все компоненты пересечения

Пример 8.4.12. Теорема Бертини. Пусть X есть -мерное подмногообразие в над алгебраически замкнутым полем. Пусть грассманиан -плоскостей в (ср. § 14.7).

(a) Существует непустое открытое множество такое, что для любого из

если если (Надо положить

Проекция гладкое отображение относительной размерности , так что Поэтому общий слой проекции имеет требуемую размерность.)

(b) Пусть множество гладких точек в Для пусть проективная касательная -плоскость к X в точке Если существует непустое открытое множество такое, что каждое из трансверсально пересекает т. е. для любой точки (Следует положить

Проекция гладкая, и подсчет размерностей показывает, что

Пусть Существует открытое множество такое, что каждое трансверсально пересекает X в точках. (Надо применить к компонентам многообразия Вообще, если подмногообразия в дополнительных размерностей, то для общего а пересекается с трансверсально в точках (дополнение

Пример 8.4.13. Результанты. Фиксируем целые положительные числа Гиперповерхности степени в параметризуются пространствами Пусть однородные

координаты на однородные координаты на так что определяют универсальную гиперповерхность в Положим и определим формулой

Проектируя на можно проверить, что -гладкое неприводимое подмногообразие в коразмерности Слой многообразия над точкой пересечение соответствующих гиперповерхностей. Положим

так что непустое открытое подмногообразие в а открыто замкнуто в Пусть проекция из Пусть

Так как собственно над индуцированный морфизм из собственный, так что — замкнутое подмногообразие в На самом деле бирационально отображает на т. е. Действительно, пусть состоит из тех для которых соответствующие гиперповерхности пересекаются в точках с различными проекциями в Тогда ограничивается до изоморфизма над В частности, является гиперповерхностью в Пусть

— уравнение для замыкания в единственное с точностью до скаляров; называется результантом. Для конкретных гиперповерхностей степеней результант получается подстановкой соответствующих коэффициентов Результант характеризуется, с точностью до умножения на многочлен от тем, что он однороден, имеет степень по (ср. ниже) и обращается в нуль в точках из алгебраического замыкания основного поля, в которых имеют общие нули вне (О некоторых классических методах вычисления результантов см. [Salmon 2], с. 66—98, и Более современное обсуждение см. в работах [Jouanolou 4] и [Lazard 1].)

Теорема. Пусть гиперповерхности, определенные уравнениями Предположим, что и -нечно. Тогда для любой точки

Докажем это. Пусть точка, соответствующая Пусть подсхема в определенная с помощью Образуем расслоенную диаграмму

По теоремам 6.4 и 6.2(b), (с)

Пусть — морфизм из индуцированный По теореме 6.2(a)

Так как то — цикл, определенный дивизором результанта Равенство этих циклов в дает

Если предполагать не конечность а только то, что содержится в конечном числе слоев отображения то же самое доказательство показывает, что есть полный вклад класса пересечения сосредоточенный на

Складывая члены формулы по всем из для которых пересекаются собственно (вне мы получаем, что имеет степень по