Глава 1. Рациональная эквивалентность

Резюме

Цикл на произвольном алгебраическом многообразии (или схеме) X — это конечная формальная сумма неприводимых подмногообразий с целыми коэффициентами. Рациональная функция на любом подмногообразии многообразия X задает цикл Циклы, отличающиеся на сумму таких циклов, называются рационально эквивалентными. Иначе говоря, рациональная эквивалентность порождается циклами вида где V — подмногообразия в доминантно проектирующиеся на Группа классов рациональной эквивалентности на X обозначается

Для собственного морфизма определено понятие прямого образа циклов. Основной результат этой главы состоит в том, что рациональная эквивалентность сохраняется при переходе к прямому образу. Индуцированные гомоморфизмы превращают А, в ковариантный функтор на собственных морфизмах.

Для плоских морфизмов (постоянной относительной размерности) существуют контравариантные гомоморфизмы обратного образа Для замкнутой подсхемы имеются полезная точная последовательность

а также внешние произведения

Группы играют роль, аналогичную роли групп гомологий в топологии. В следующих главах будет показано, как геометрические объекты (векторные расслоения, регулярно вложенные подсхемы, определяют операторы на этих группах (классы Чженя, произведения-пересечения, В некоторых случаях удается построить контравариантные функторы А со значениями в кольцах, обладающие -произведениями и наделенные другими свойствами, известными в топологии. Для неособого многообразия X имеет место изоморфизм в этом (но не в общем) случае обладает структурой кольца. Связь этих групп с настоящими группами гомологий обсуждается в гл. 19.

1.1. Обозначения и соглашения

Вплоть до гл. 20 под схемой будет пониматься алгебраическая схема над полем (см. дополнение В. 1). Многообразие — неприводимая и приведенная схема, а подмногообразие — замкнутая подсхема, являющаяся многообразием. Под точкой схемы всегда понимается замкнутая точка.

обозначает -мерное аффинное пространство, обозначает -мерное проективное пространство.

Локальное кольцо схемы X вдоль подмногообразия V обозначается через а его максимальный идеал — через Поле рациональных функций на многообразии X обозначается через ненулевые элементы этого поля образуют мультипликативную группу

При желании читатель может считать объемлющие схемы многообразиями над алгебраически замкнутыми полями в смысле статьи [Serre 1], потери будут невелики. Важно, однако, чтобы допускались произвольные замкнутые подсхемы. Иными словами, нужно помнить идеалы, задающие эти подсхемы (ср. пример 1.1). Для применений к вопросам рациональности полезно, и ничуть не сложнее, работать над произвольным основным полем.

Чрезвычайно важно, что объемлющим многообразиям разрешено иметь особенности: наши конструкции пересечения циклов даже на неособых многообразиях привлекают раздутия вдоль особых подсхем.

Роль подсхем видна уже из современного определения индекса пересечения плоских кривых. Хотя в высших размерностях ситуация гораздо сложнее, некоторые важные черты теории пересечений видны на примерах плоских кривых, приводимых в этой главе.

Пример 1.1.1. Пусть многочлены, задающие плоские аффинные кривые над алгебраически замкнутым полем К. Схема их пересечения подсхема в задается идеалом в кольце порожденным многочленами Если точка на этой плоскости, то кратностью (или индексом) пересечения кривых в точке называется число

Эти кратности пересечения обладают следующими свойствами:

кривая, заданная многочленом где задают

если кривая задается многочленом где

если имеют общую компоненту, проходящую через В остальных случаях конечна и положительна.

и вообще если якобиан отличен от нуля в точке

если простая точка на не имеет общих компонент с или И, проходящих через (см. ).

Для фиксированной точки свойства характеризуют индекс пересечения (см. [Fulton 1], 3.3). Аналогичное описание сохраняется, если плоскость заменить произвольной неособой поверхностью. Это определение кратности пересечения согласуется с общими определениями кратности (ср. пример 7.1.10). Однако в общем случае кратности уже не определяются схемой пересечения.