Глава 12. Положительность

Резюме

Классы пересечений строились при помощи пересечения конуса С в нормальном расслоении с нулевым сечением. Если цикл С равен класс пересечения имеет соответствующее разложение Если расслоение положительно в каком-то смысле, можно получить соответствующую положительность классов пересечений, даже если пересечения несобственные.

Предположим для простоты, что ограничение расслоения на порождается своими сечениями. Тогда представляется неотрицательным циклом. Если к тому же обилен, представляется положительным циклом. Если порождается сечениями для обильного линейного расслоения то степень а, ограничена снизу степенью (степень понимается относительно

Если пересечения рассматриваются на неособом многообразии X, то положительность касательного расслоения влечет за собой соответствующую положительность всех классов пересечений на Для и подмногообразий получается тонкая теорема Безу:

пробегает отмеченные многообразия; в частности, все неприводимые компоненты находятся среди

Имеются также применения к кратностям пересечений. Например, если собственно пересекаются в неособой точке -мерного многообразия раздутия в то

Здесь класс пересечения берется в исключительный дивизор. Степень всегда неотрицательна и имеет оценку снизу, как в тонкой теореме Безу, т. е.

где неприводимые компоненты пересечения проективных касательных конусов. Такая положительность заслуживает внимания, так как могут иметь избыточные пересечения, а общие пересечения на X могут быть отрицательными. Аналогичные неравенства есть для собственных пересечений дивизоров на особых многообразиях.

Обозначения. Цикл на схеме X неотрицателен, если все и положителен, если, кроме того, хотя бы один положителен. Пусть (соотв. ) обозначает множество классов в которые могут быть представлены неотрицательными (соотв. положительными) циклами. Таким образом, Оба множества замкнуты относительно сложения.

Пусть линейное расслоение над полной схемой Пусть а есть -цикл или класс циклов на Тогда -степень а определяется как

Если V — подмногообразие в X, то -степень V определяется аналогично: