7.1. Собственные пересечения

Рассмотрим, как в §6.1, расслоенный квадрат

где регулярное вложение коразмерности чисто -мерная схема. Пусть

где неприводимые компоненты С, и пусть носитель отмеченные многообразия пересечения.

Лемма Каждая неприводимая компонента многообразия является отмеченной.

(b) Для любого отмеченного многообразия

Доказательство. Пункт (а) следует из того, что для любой замкнутой подсхемы носителем конуса является Так как С неприводимые подмногообразия в проектирующиеся на то где ограничение на Поэтому

Так как (дополнение отсюда следует

Если вложение неприводимых -мерных многообразий должно быть изоморфизмом. В частности, класс полученный пересечением с нулевым сечением равен а вклад в это пересечение равен

Определение 7.1. Неприводимая компонента схемы называется собственной компонентой пересечения , если Кратность пересечения вдоль обозначаемая

или просто или это коэффициент при в классе Эквивалентно, вклад в класс пересечения равен Если ограничение на то равен коэффициенту при в цикле конуса

Пусть локальное кольцо V вдоль и идеал подсхемы имеет конечную длину, если -компонента

Предложение 7.1. Предположим, что собственная компонента Тогда

(b) Если порождается регулярной последовательностью длины то

Если кольцо Коэна — Маколея (например, регулярное кольцо), то локальные уравнения для дают регулярную последовательность, порождающую и выполняется равенство (b).

Доказательство. Пусть Ограничение расслоения на является неприводимой компонентой этого расслоения. Так как векторное расслоение над коэффициент при в цикле тот же самый, что при в цикле Так как С — замкнутая подсхема в коэффициент при в цикле не больше, чем в цикле [N] (лемма А.1.1). Но коэффициент при и есть откуда следует

Если порождается регулярной последовательностью длины то, заменяя V открытой подсхемой, пересекающей (что не меняет по теореме кратности пересечения), мы можем считать вложение регулярным коразмерности d. В этом случае С — подрасслоение в ранга значит, и коэффициенты при совпадают.

Последнее утверждение предложения следует из леммы

Неравенство в может быть строгим, как показал Маколей (пример 7.1.5).

Пример 7.1.1. Пусть кратность V вдоль как в примере 4.3.4. Тогда

т. е. приведенное здесь определение кратности пересечения совпадает с определением Самюэля.

Пример 7.1.2. Пусть образы в А регулярной последовательности элементов, определяющих (локально, в открытом множестве, пересекающем Тогда

где комплекс Кошуля, определенный элементами (дополнение А.5). Серр в работе [Serre 4], показал, что, вообще, дает кратность Самюэля. Мы наметим другое доказательство, проводя индукцию по d. Если все следует из равенства

где сумма берется по минимальным простым идеалам это частный случай леммы А.2.7. Для проведения шага индукции локализуем так, чтобы иметь расслоенную диаграмму

где регулярные вложения коразмерности и 1, и их локальные уравнения поднимаются до в соответственно. Можно также предполагать, что при локализации становится неприводимой, а все неприводимые компоненты схемы содержат и поэтому имеют размерность к Пусть простые идеалы в А, соответствующие По индукции

По функториальности Пусть Тогда

согласно лемме и примеру (Заметим, что каждый модуль имеет носитель в так что может рассматриваться как модуль над для некоторого на самом деле Лемма А.2.7 применяется к одномерному кольцу А.)

Пример 7.1.3. В обозначениях предыдущего примера следующие утверждения эквивалентны:

(ii) J порождается регулярной последовательностью длины d;

(iii) — регулярная последовательность в

В частности, тогда и только тогда, когда А — кольцо Коэна—Маколея. Алгебраические доказательства даны в статье . Для прямого доказательства импликации главное — показать, что равенство циклов влечет за собой равенство схем по крайней мере после замены V некоторым открытым подмножеством, пересекающим (В самом деле, если А — локальное артиново кольцо и однородный идеал в локализация которого в минимальном простом идеале нулевая, то

Пример 7.1.4. Пусть Тогда V чисто двумерно, Кратность пересечения начале координат равна 2, в то время как (ср. [Hartshorne 5], с. 535—536).

Пример 7.1.5. Пусть и пусть образ конечного морфизма заданного формулой

Начало координат является собственной компонентой пересечения

(Для (iii) заметим, что Применение теоремы в ситуации

дает равенство Так как регулярно, из предложения следует, что

где начало координат в Поэтому что и требуется.) Заметим, что ядро умножения на имеет длину 1, что и объясняет разницу между пп.

Пример 7.1.6. Без предположения о регулярности вложения неприводимые компоненты пересечения могут иметь размерность, меньшую, чем Стандартный пример:

Пример 7.1.7 (коммутативность). Если также регулярное вложение, то по теореме 6.4

Пример 7.1.8 (ассоциативность). Пусть разлагается в композицию регулярных вложений Пусть

— неприводимые компоненты содержащие Если собственная компонента то собственная компонента пересечения каждого с X на X, каждая компонента собственная компонента пересечения на и по теореме 6.5

Пример 7.1.9 (формула проекции). Пусть - собственный сюръективный морфизм -мерных многообразий и неприводимые компоненты Если и все имеют размерность к то по предложению

Пример Пусть эффективные дивизоры Картье на -мерном многообразии V Неприводимая компонента пересечения размерности к — d называется собственной компонентой. Кратность пересечения

определяется как кратность пересечения вдоль

Эквивалентным образом (ср. пример 6.5.1), это коэффициент при в цикле пересечения А (определение 2.4.2). Если —локальное кольцо V вдоль ,- — локальное уравнение дивизора то

Если А — кольцо Коэна — Маколея, то

Например, если простая точка на К то кратность пересечения задается длиной.

(b) Пусть гиперповерхности в заданные многочленами и пусть изолированная (т. е. собственная) точка пересечения Тогда

Если формальные степенные ряды можно заменить сходящимися. (Заметим, что модули конечной длины не меняются при пополнении, ср. [Zariski - Samuel 1], VIII.2.)

Пример 7.1.11. Пусть V есть -мерное многообразие, простая точка на раздутие и его исключительный

дивизор. Для эффективного дивизора Картье на К пусть раздутие вдоль т. е. собственный прообраз Если дивизоры такие, что конечно, то

Если пересекаются собственно в точке то отсюда следует, что кратность пересечения есть сумма произведений кратностей во всех бесконечно близких точках — результат Нётера. (Согласно примеру Надо записать произведение и взять прямой образ на К) Обобщения будут даны в примере 12.4.8.

Пример 7.1.12. Вклад отмеченного многообразия минимальной размерности всегда положительное кратное Если вклад может представляться и отрицательными циклами. Пусть, например, -раздутие поверхности в простой торсе и его исключительный дивизор. Тогда единственное отмеченное многообразие, и его вклад равен — где точка на

Пример 7.1.13. Пусть векторное расслоение ранга над чисто -мерной схемой его сечение и схема нулей этого сечения:

где нулевое сечение. Если собственная компонента т. е. то связанная с конструкция пересечения определяет кратность пересечения Если А — локальное кольцо росток является свободным -модулем с индуцированным сечением которое определяет комплекс Кошуля (определение Тогда

Пример 7.1.14. Пусть — морфизм гладкого -мерного многообразия в гладкую кривую С. Касательное отображение соответствует сечению расслоения Если изолированный нуль этого сечения, кратность пересечения в сечения с нулевым сечением (как в предыдущем примере) называется кратностью как критической точки морфизма и обозначается

Если в локальных координатах задается функцией

Обсуждение этой кратности с аналитической и топологической точки зрения см. в работах [Milnor 3] и [Orlik 1]; ср. пример 14.1.5.

Пример 7.1.15. Пусть собственный сюръективный морфизм многообразий. Пусть подмногообразие в предположим, что что X —неприводимая компонента в и что X регулярно вложено в У. Тогда индекс ветвления (пример 4.3.7) задается кратностью пересечения

Это применимо, в частности, когда морфизм конечен, простая точка

Пример 7.1.16. Дробные индексы пересечения на нормальных поверхностях (ср. [Mumford 1], II (b), [Reeve 2]). Пусть : разрешение особой точки на поверхности связно, как в примере 2.4.4. Для неприводимой кривой А на V существуют однозначно определенные рациональные числа такие, что если А — собственный прообраз А на X, то

для всех Пусть Это продолжается до гомоморфизма а из удовлетворяющего условиям

(i) для любого дивизора Картье на К

(ii) Если дивизор положителен и содержит то все X, больше 0.

(При проверке (i) надо заметить, что пусть такие же, как в примере 2.4.4, и Предположим, что минимальное среди Тогда

Связность влечет за собой теперь, что все нулевые.)

Для любых двух -циклов В на V, которые пересекаются только в точке положим

(Это число определено, так как полная кривая.) Этот индекс пересечения симметричен и билинеен; он неотрицателен, если положительны, и положителен, если положительны и проходят через Если дивизор Вейля дивизора Картье то

Это определение индекс не зависит от разрешения. (Если : раздутие точки на X, то ортогонально всем исключительным компонентам и

Если X — квадратичный конус с вершиной — порождающие прямые этого конуса, то

Пример 7.1.17. Пусть С — неприводимая кривая на схеме эффективный дивизор Картье на X, причем С не содержится в носителе Пусть конечный морфизм, бирационально отображающий неприводимую кривую С на С. Тогда

(Надо использовать теорему 6.2(a).) Например, если то задается многочленом и кратности пересечений задаются кратностями корней этого многочлена.