А.3. Функции порядка

Определение А.З. Пусть А — одномерная область целостности с полем частных К. Для ненулевого элемента положим

Для ненулевого элемента положим

где Если то и по лемме А.2.5

так что число определено корректно. Другое применение

леммы А.2.5 показывает, что

— гомоморфизм.

Лемма А.З. Пусть А — одномерная область целостности с полем частных К. Пусть эндоморфизм конечно порожденного -модуля и индуцированный эндоморфизм модуля а К. Если то

Доказательство. Пользуясь леммами А.2.1 и А.2.4, можно заменить на где подмодуль кручения в Иначе говоря, можно считать, что вкладывается в Выберем базис для из элементов модуля и образуем свободный подмодуль такой, что Возьмем общий знаменатель а для матрицы так что Так как имеет конечную длину. Поэтому по леммам А.2.1 и А.2.4

Аналогично, Теперь, пользуясь леммой А.2.5, получаем

где ранг По лемме А.2.6

Остается сравнить эти равенства.

Пример А.3.1. Пусть А — одномерная локальная область с полем частных К. Предположим, что целое замыкание конечно порождено как -модуль. Тогда для любого

где сумма берется по всем кольцам дискретного нормирования доминирующим А. Иначе говоря, и максимальный идеал кольца содержит максимальный идеал кольца А. (Если В — целое замыкание так что для а Кольца дискретного нормирования являются локализациями В в максимальных идеалах, поэтому применимы леммы А. 1.2 и А.1.3.)

Пример А.3.2. Если А — кольцо дискретного нормирования и то порядок это наибольшее целое такое, что где максимальный идеал в А. Для произвольного кольца А такое определение через максимум дает неаддитивную функцию порядка (ср. пример 1.2.4).

Пример А.3.3. Пусть А — кольцо дискретного нормирования с полем частных конечное расширение К степени и В — целое замыкание Если В — конечно порожденный -модуль, то (лемма А.3) для

Если а — униформизующий элемент в А, это дает известную формулу