9.2. Теорема об остаточном пересечении

Определение 9.2.1. Пусть — замкнутые вложения схем, причем дивизор Картье на Существует замкнутая подсхема называемая остаточной схемой к (относительно V), татя, что более того, соответствующие пучки идеалов на

V связаны соотношением

В самом деле, вложение означает, что так что каждое локальное уравнение для однозначно делится на локальное уравнение для тогда частные дают локальные уравнения для

Предложение 9.2. Пусть — замкнутые вложения, V есть -мерное многообразие и дивизор Картье на Пусть остаточная схема к Тогда для любого

Доказательство. Предположим сначала, что Пусть раздутие V вдоль Пусть

так что как дивизоры Картье на

Пусть индуцированный морфизм Положим

По определению классов Сегре (ср. следствие 4.2.2) и формуле проекции (предложение

а это и есть нужная формула, так как Если же то доказываемое равенство превращается в

что совпадает с определением

Теорема 9.2 (теорема об остаточном пересечении). Рассмотрим диаграмму

с расслоенным квадратом, где замкнутые вложения, а V есть -мерное многообразие. Предположим, что

(i) i - регулярное вложение коразмерности d;

(ii) — вложение как дивизора Картье на

(iii) R - остаточная схема к

Пусть Определим класс остаточного пересечения по формуле

Тогда в

Доказательство. Положим По предложению 6.1(a)

По определению

Согласно примеру 3.2.2,

Из предложения 9.2 для следует, что правая часть равенства (1) есть сумма правых частей (2) и (3), что и требуется.

Обозначение 9.2. Пусть степенной ряд от классов Чженя векторных расслоений. Обозначим через его член веса

Следствие 9.2.1. Дополнительно к предположениям теоремы 9.2 предположим, что подсхема регулярно вложена в V и имеет коразмерность d. Тогда

где

3 частности, если

Доказательство. Так как

откуда все следует.

Остаточная схема локально всегда определяется в V при помощи d уравнений — частных от деления локальных уравнений для X на уравнение для В частности, если V — схема Коэна — Маколея и регулярно вложена и имеет коразмерность d {лемма А.7.1.) и поэтому применима последняя формула следствия 9.2.1. Если V не является схемой Коэна — Маколея, теорема 9.2 дает такой результат.

Следствие 9.2.2. В ситуации теоремы 9.2 предположим, что Пусть неприводимые компоненты и алгебраические кратности V вдоль (§ 4.3). Тогда

Определение 9.2.2. Пусть замкнутые вложения, V — многообразие и Остаточное множество к определяется так. Пусть раздутие V вдоль исключительный дивизор, Тогда а V, так что определена остаточная схема Определим остаточное множество как образ (Множеству можно придать структуру схемного образа, но нам это не нужно.) Рассмотрим диаграмму

удовлетворяющую условиям теоремы 9.2, кроме предположения о том, что дивизор Картье. Определим класс остаточного пересечения по формуле

где индуцированный морфизм из Иными словами, образ класса остаточного пересечения на определенного в теореме 9.2.

Следствие 9.2.3. (формула остаточного пересечения). В этих предположениях

Доказательство. Согласно теореме 6.2(a), есть прямой образ Следствие теперь вытекает из теоремы 9.2, примененной к V, и равенства

которое получается из формулы проекции и предложения 4.2(a).

Более общая теорема об остаточном пересечении вместе с геометрическим истолкованием входящих членов будет дана в § 17.6.

Пример 9.2.1. Если связная компонента остаточная схема есть объединение других компонент и

есть вклад в произведение-пересечение

Пример 9.2.2. В ситуации теоремы 9.2 пусть ограничение на Нормальный конус канонически вкладывается как подконус в Если нулевое сечение то

Поэтому остаточный класс имеет каноническое разложение где неприводимые компоненты геометрические кратности (Что касается первого утверждения, то равенство определяет сюръекции

где морфизм из Поэтому получаем сюръекцию

которая соответствует вложению как и утверждается. Второе утверждение следует из предложения

Пример 9.2.3. В следствии 9.2.1 класс есть старший класс Чженя расслоения где ограничение на (ср. пример 9.2.2).

Пример 9.2.4. Пусть эффективные дивизоры на неособой поверхности X, причем взаимно просты. Пусть Тогда остаточной схемой к (относительно X) будет Для пересечения диагонали В теорема об остаточном пересечении утверждает, что

Заметим, что это разложение класса пересечения отличается от канонического разложения, использующего отмеченные компоненты (ср. пример 6.1.4).

Пример 9.2.5. Пусть плоскость в определяемая обращением в нуль первых двух координат. Пусть морфизм задается формулой

Тогда схема Если тройная прямая, определяемая уравнением то остаточная схема к сводится к точке Поэтому

где точка прямой Заметим, что образ является подмногообразием степени 4 в которое пересекает X геометрически по тройной прямой. Так как приведенное выше равенство согласуется с теоремой Безу.

Пример 9.2.6. Пусть задается формулой Тогда содержит и остаточная схема определяется многочленами где

подчиняется аналогичному равенству. Схемное пересечение определяется производными Вне множество состоит из двойных точек, тогда как измеряет ветвление. (По поводу обобщения см. пример 9.3.12.)

Пример 9.2.7. Пусть неособое многообразие и состоит из кривых не имеющих тройных пересечений, а в двойных пересечениях имеющих разделенные касательные. Тогда

(Надо раздуть и использовать предложение 9.2.)

Если дивизоры на связная компонента и если каждая кривая неособая, то

Если род общее число двойных точек в то вклад равен

Пример 9.2.8. Для любых можно определить остаточную схему следующим образом. Локально идеал состоит из тех функций, которые при умножении на любые функции из попадают в , т. е. (ср. [Peskine - Szpiro 1])

Это определение согласуется с данным в тексте в случае, когда дивизор Картье на V Остаточный класс построенный в определении 9.2.2, лежит в Было бы полезно иметь условия, при которых совпадает с циклом связанным с этой схемной структурой, или вычислять при помощи этой схемной структуры.