18.2. Теорема Римана — Роха для квазипроективных схем

В этом параграфе мы работаем в категории квазипроективных схем X над фиксированным неособым базисным многообразием Такие схемы снабжены морфизмом в допускающим разложение

с замкнутым вложением и открытым вложением -векторное расслоение над проекция. Основной случай для нас — когда есть спектр основного поля общность же нам нужна для будущего распространения на непроективный случай (§ 18.3).

Если многообразие гладко над то обозначает его относительное касательное расслоение над и

Для замкнутого вложения где гладко над и когерентного пучка на X положим

Здесь конечная локально свободная резольвента на Из предложения следует, что этот класс не зависит от выбора резольвенты и что задает гомоморфизм

Определим гомоморфизм

по формуле

где Отождествляя можно написать также

Теорема 18.2. Гомоморфизм не зависит от вложения обозначим его или

Кроме того, имеют место следующие свойства:

(1) (ковариантность). Если собственный морфизм, то коммутативна диаграмма

(2) Если

(3) Если - л.п.п. морфизм с виртуальным касательным расслоением то коммутативны диаграммы

В первой диаграмме предполагается собственным. Гомоморфизмы Гизина построены в § 6.2 и примере 15.1.8. Виртуальное расслоение определяется в дополнении

Доказательство. Разделим его на десять шагов.

Шаг 1. Если -замкнутое вложение, -открытое или замкнутое вложение, где гладки над Если открытое вложение, это следует из определения, если замкнутое — из следствия 18.1.2.

Шаг 2. Если замкнутое вложение, то

Это следует из предложения 18.1(c).

Шаг 3. Если замкнутое вложение и замкнутое вложение, причем гладко над то для любых а Это следствие построения

Шаг 4. Пусть замкнутое вложение, гладко над гладкий морфизм. Образуем расслоенный квадрат

Тогда для любого а

Это следует из перестановочности локального характера Чженя с плоскими обратными образами (теорема 18.1).

Шаг 5. В обозначениях шага 4 предположим, что где векторное расслоение над Мир — проекция. Тогда для любого

Достаточно проверить это для Ко так как любой класс в есть сумма таких классов (ср. пример 15.1.1). Тогда

согласно шагам 2 и 4. Так как то в силу примера 15.2.17 это можно переписать как

С другой стороны, так что

снова по шагу 2.

Шаг 6. Проверим, что не зависит от В силу шага 1 достаточно рассмотреть замкнутые вложения вида где открыто в и векторное расслоение над Пусть другое такое вложение. Пусть Рассмотрим индуцированные вложения

Пусть -проекция. Рассмотрим диаграмму

Верхний квадрат коммутативен по шагам 1 и 3, нижний — по шагу 5. Так как то Симметрично,

Шаг 7. Ковариантность следует из шагов 3 и 5. В самом деле, пусть где векторное расслоение, и где гладкий морфизм. Получаем диаграмму

Теперь можно использовать шаг 3 для и шаг 5 для

Шаг 8. Свойство (2) следует из шага 2 и следующей леммы.

Лемма 18.2. Пусть векторное расслоение над схемой Существуют замкнутое вложение где гладко над и векторное расслоение над такие, что

Доказательство. Возьмем замкнутое вложение где гладко над и векторное расслоение над обладающее сюръекцией пучков (дополнение Пусть и грассманиан факторрасслоений расслоения ранга с проекцией Тогда существует морфизм такой, что есть обратный образ универсального факторрасслоения над

Шаг 9. Для проверки коммутативности первой диаграммы в (3) с собственным л.п.п. морфизмом разложим как в шаге 7. Для проекции вычисления те же самые, что в шаге 5. Для регулярного вложения доказательство по существу то же, что для неособого случая в § 15.2. На самом деле более сильный результат дается в следствии 18.1.2.

Шаг 10. Для второй диаграммы в (3) снова разложим как в шаге 7: >

Для утверждение было проверено в шаге 4, а для открытого вложения оно следует из шага 1. Поэтому остается проверить, что

где (замкнутое) регулярное вложение с нормальным расслоением

Сначала мы проверим в том случае, когда а -вложение X как нулевого сечения в Пусть проекция. Так как продолжается на некоторую гладкую окрестность схемы X, из шага 4 следует, что

для любого Так как сюръективно, можно написать Так как взаимно обратные изоморфизмы между следует из

Теперь мы проверим в том случае, когда главный дивизор Картье на Тогда определяет морфизм такой, что Выберем вложение где гладко над Тогда вкладывает и мы получаем расслоенный квадрат

где нулевое сечение, а Достаточно проверить для где - подмногообразие в Если обе части равны нулю, так как на и на и Если пусть так что Пусть — локально свободная резольвента пучка на Тогда резольвента на (лемма Теперь

по формуле (19) § 18.1. Но этот последний член и есть что и требуется для так как нормальное расслоение к тривиально.

Общий случай следует из двух предыдущих и деформации к нормальному расслоению. Как и для рациональной эквивалентности (§ 5.2), имеется гомоморфизм специализации

определенный требованием коммутативности диаграммы

Кроме того,

где - вложение нулевого сечения. (Чтобы увидеть это, рассмотрим деформационную диаграмму

Пусть Ко Тогда

Теперь коммутирует с отображениями специализации так как коммутирует с (шаг 4), с (шаг 1) и (поскольку вкладывает как главный дивизор Картье). Поэтому

что завершает доказательство.

Пример 18.2.1. Пусть -регулярное вложение коразмерности d с нормальным расслоением и пусть векторное расслоение ранга над Определим согласно предписанию леммы 15.3. Тогда

в (Доказательство, как в следствии 18.1.2, ср. пример 18.1.3.)

Пример 18.2.2. Лгфшец — Риман — Имеются эквивариантные аналоги теорем Римана — Роха, по крайней мере для автоморфизмов конечного порядка, взаимно простого с характеристикой. Сингулярный вариант см. в работе [Baum - Fulton - Quart 1]. Формализм и использование деформации к нормальному расслоению совершенно аналогичны. Имеется аналогичная формула для эндоморфизма Фробениуса в характеристике (ср. [Fulton 5]).