А.5. Комплексы Кошуля

Определение А.5. Пусть конечно порожденный -модуль и т. е. есть -линейный гомоморфизм. Пусть образ идеал в А. Определим

по формуле

Проверяется, что так что мы получаем комплекс -модулей, который обозначается и называется комплексом Кошуля. Пусть обозначает группу гомологий этого комплекса:

В частности,

Если свободный -модуль и при всех то называется регулярным (или -регулярным) сечением модуля

Если все имеют конечную длину, мы скажем, что определена характеристика и положим

Лемма А.5.1. Пусть где Тогда имеется длинная точная последовательность

Доказательство. Каждый модуль расщепляется в прямую сумму и это определяет короткую точную последовательность комплексов Кошуля

В этой диаграмме комплексы записаны вертикально. Нужная длинная точная последовательность есть последовательность гомологий, возникающая из короткой последовательности комплексов. Можно проверить, что с точностью до знака граничное отображение из есть умножение на и.

Лемма А.5.2. Пусть свободные модули, и где Пусть гомоморфизм из индуцированный и. Если -регулярен, а и А — регулярен, то -регулярен. Обратное верно, если кольцо А локальное с максимальным идеалом

Доказательство. Индукцией по рангу можно свести все к случаю, когда Из точной последовательности леммы А.5.1 вытекает, что обращаются в нуль для всех тогда и только тогда, когда умножение на и в модуле является изоморфизмом при всех и инъективно при к — 0. Это доказывает первое утверждение. При доказательстве обратного заметим, что Поэтому умножение на и в конечно порожденном -модуле сюръективно тогда и только тогда, когда модуль нулевой (лемма Накаямы). Отсюда следует доказываемое утверждение.

Лемма А.5.3. Пусть плоский гомоморфизм колец, свободный -модуль Предположим, что -регулярен, а индуцированный гомоморфизм плоский. Тогда для любого гомоморфизма колец индуцированное сечение модуля -регулярно.

Доказательство. Комплекс

точен и состоит из плоских -модулей. Из леммы следует, что он остается точным и после тензорного умножения на А над А, что и доказывает утверждение.

Пример А.5.1. Пусть Тогда определено в том и только том случае, если для любого к определено ел ( и тогда

(По лемме А.5.1 имеются короткие точные последовательности

Применим затем лемму А. 1.1.)

Пример А.5.2. Пусть В — коммутативная -алгебра, есть -модуль и сечение так что имеется комплекс Кошуля -модулей. Для -модуля обозначим через группу гомологий комплекса в Если эти группы гомологий имеют конечную длину как -модули, положим

Если свободный -модуль, аддитивна на точных последовательностях -модулей и в этой обстановке выполняются обобщения лемм А.5.1, А.5.2 и примера А.5.1. Если то задается последовательностью элементов из В. В -этом случае положим

Заметим, что задание -модуля вместе с d коммутирующими эндоморфизмами эквивалентно заданию на структуры -модуля, где . Для эндоморфизм -модуля совпадает с кратностью из § А.2. Если пусть коммутирующие эндоморфизмы -модуля Пусть (соотв. )

обозначает эндоморфизм модуля индуцированный Тогда по примеру А.5.1

где обе части должны быть одновременно определены. В частности, правая часть симметрична по что обобщает лемму А.2.8.

Утверждение о положительности из примера А.2.2 также допускает обобщение (см. IV, доп. 2). Пусть -модуль конечно порожден и определено; тогда

где коядро отображения

В случае когда есть -модуль, задается последовательностью элементов из называется кратностью относительно

Пример А.5.3. Если регулярно и есть -линейный автоморфизм то также регулярно.

Пример А.5.4. Если А — кольцо дискретного нормирования, -модуль является плоским тогда и только тогда, когда он свободен.

Пример А.5.5. Если некоторое -регулярное сечение и — плоский гомоморфизм, то индуцированное сечение а В - регулярно.