Замечания и литература
Хотя появление численных инвариантов и канонических классов многообразий в алгебраической геометрии часто предвосхищало их открытие в топологии, с характеристическими классами векторных расслоений случилось обратное. В топологии классы Штифеля — Уитни были построены в 1930 г. В алгебраической же геометрии векторные расслоения общего вида не были естественным объектом изучения до появления новых оснований, введенных Вейлем и Серром и включавших гибкое понятие абстрактного алгебраического многообразия.
Пользуясь этими новыми основаниями, Гротендик ([Grothen-dieck 2]) построил классы Чженя в кольце рациональной эквивалентности для алгебраического векторного расслоения над неособым квазипроективным многообразием. Его метод состоял в вычислении кольца пересечений ассоциированного проективного расслоения как расширения кольца пересечений базы и определении классов Чженя при помощи формулы из замечания 3.2.4. Для этого сначала должна быть развита теория пересечений на таких многообразиях. В работе [Fulton 2] классы Чженя определялись для векторных расслоений над особыми квазипроективными многообразиями с помощью теоремы Гротендика и того факта, что такие расслоения являются ограничениями расслоений над подходящими неособыми многообразиями.
Настоящее изложение значительно проще и не требует предположений о квазипроективности. Кроме фактов, доказанных в гл. 2 о дивизорах, не требуется никакой теории пересечений. На самом деле процедура Гротендика будет полностью обращена, и результаты, полученные здесь о векторных расслоениях, будут использованы в дальнейших главах для построения общих произведений-пересечений.
Формула, дающая обращение классов Чженя расслоения Е в терминах прямого образа степеней первого класса Чженя канонического линейного расслоения над 
появилась в статье [Washnitzer 1]; она переоткрывалась почти каждым, кто писал о классах Чженя. Хотя Б. Сегре ([Segre В 4]) не работал с векторными расслоениями, он построил классы высшей коразмерности при помощи аналогичной конструкции (ср. пример 3.3.4), что объясняет название классов Сегре расслоений. Мы увидим, что фундаментальная конструкция Сегре имеет далеко идущие применения.
Теоремы 3.2 и 3.3 появились в работах [Grothendieck 1, 2] в неособом квазипроективном случае. И. Вайнзенхер также доказал теорему 3.3 в особом квазипроективном случае. Пример 3.2.22 был предложен Дж. Харрисом.
Для изучения классов Чженя в топологии читатель отсылается к книгам [Milnor - Stasheff 1] или [Bott - TU 1]. Согласованность алгебраической и топологической конструкций будет проверена в гл. 19.
