4.4. Линейные системы

Если подсхема является базисным множеством линейной системы, ее класс Сегре тесно связан с важными инвариантами этой системы.

Пусть линейное расслоение над -мерным многообразием X, и пусть есть -мерное пространство сечений этого расслоения. Для пусть схема нулей сечения дивизор Картье на Пусть

— база (или базисная подсхема) линейной системы. Пусть — раздутие X вдоль В. Существует морфизм

продолжающий морфизм который переводит точку в гиперплоскость дивизоров, содержащих На самом деле, если пучок идеалов базы то существует каноническая сюръекция из тривиального расслоения Поэтому сюръективно отображается на что дает вложение X в

Морфизм есть тогда проекция в Из этого описания следует, что

где исключительный дивизор на

Определим как степень -мерного цикла на т. е.

Предложение 4.4. В этих обозначениях

Доказательство. Из приведенного выше описания имеем

При этом используется формула проекции и следствие 4.2.2.

Пример 4.4.1. Предположим, что дивизоров из линейной системы высекают в схемном смысле В вместе с конечным множеством не пересекающим В. В этом случае можно интерпретировать как взвешенное число точек из это полный индекс пересечения Оставшийся член представляет поэтому вклад в полный индекс пересечения, вносимый базой В. Это частный случай общей формулы, которая будет доказана в гл. 9.

Пример 4.4.2. Пусть рациональная нормальная кривая. Пусть линейная система квадрик, проходящих через В. Тогда Если то отождествляется с грассманианом прямых в

Пример 4.4.3. Пусть X — неприводимая поверхность в заданная уравнением степени d. Особой, или якобиевой, подсхемой в X называется схема нулей частных производных Пусть -раздутие X вдоль тогда имеются морфизмы

Образ называется двойственным многообразием к X и обозначается В нулевой характеристике имеет место бидвойственность, т. е. (ср. [Kleiman 11]). В любом случае число называется степенью двойственного к X многообразия. Тогда

где есть -мерная компонента класса Например, если X — неособое многообразие, степень двойственного к нему равна (ср. пример 3.2.21).

Пример 4.4.4. Пусть неприводимая плоская кривая степени d. Тогда степень двойственной к ней кривой равна

где кратность X вдоль в точке (ср. пример 4.3.4). Эквивалентным образом, пусть : —нормализация схемы X в поле функций и тогда степень двойственной кривой равна

(Следует использовать предложение 4.2(a).) Например, нодальная точка дает вклад 2, обыкновенная -кратная точка дает вклад обыкновенная каспидальная точка — вклад 3, высший касп вида где взаимно просты (и не делят характеристику), дает вклад (ср. [Walker 1], IV.6). Аналогичные результаты для поверхностей см. в примере 9.3.8.

Пример 4.4.5. Полярные классы (ср. [Piene 3]). Пусть неприводимая гиперповерхность степени d над алгебраически замкнутым основным полем. Для любого пусть линейное подпространство размерности к — 1. Тогда полярное множество к X относительно обозначаемое через определяется как замыкание множества

Здесь обозначает вложенное касательное пространство к X в точке Для общего многообразие имеет чистую коразмерность к в X, и класс не зависит от Если как в примере 4.4.3, то

класс кривой X, обозначаемый определяется как степень Поэтому

(Пусть такие же, как в примере 4.4.3, и Положим

Тогда

Доказательство завершается, как в предложении 4.4.)

Заметим, что Пусть теперь уравнение для точка у с координатами

Гиперповерхность, заданная уравнением классическая полярная гиперповерхность к X относительно у. Неособая точка лежит в тогда и только тогда, когда полярное множество в высекается к полярными гиперповерхностями, где точки выбраны в общем положении.

Вычисления а следовательно, и полярных классов для поверхностей обыкновенными особенностями см. в примере 9.3.7. Обобщения на высшие коразмерности обсуждаются в примере 14.4.15.