Предисловие
На протяжении всего развития алгебраической геометрии от ее древнейших истоков з решении полиномиальных уравнений и до выдающихся достижений последних двух столетий теория пересечений играла в ней центральную роль. Так как роль теории пересечений в кризисах оснований была не менее заметной, отсутствие полного современного изложения теории пересечений создавало определенные затруднения. Цель этой книги — развить основания теории пересечений и очертить область ее классических и современных применений. Не собираясь приводить исчерпывающую историю этого обширного предмета, мы попытались отметить некоторые замечательные ранние проявления идей теории пересечений.
В последнее время наше понимание предмета значительно углубилось, что привело не только к более строгой и полезной теории, но и позволило развивать ее на основе минимальных предварительных сведений из алгебры и алгебраической геометрии. Можно надеяться, что основной текст будет доступен любому, кто знаком с начальным курсом алгебраической геометрии, особенно если временами обращаться к двум дополнениям. Лишь некоторые примеры и несколько последних разделов требуют более специальных знаний. Текст организован так, чтобы, разобравшись в конструкциях и приняв на веру основные теоремы первых шести глав, можно было читать остальные главы независимо. Частые ссылки на предыдущие разделы предназначены для таких читателей. Резюме в начале каждой главы облегчают использование книги в качестве справочника.
Некоторые теоремы являются новыми или представляют собой более сильные варианты известных ранее результатов; ряд доказательств значительно упрощен. К первым относятся новая формула для раздутий, сильная формула остаточных пересечений и устранение всех предположений о проективности в теории пересечений и теоремах Римана — Роха; последние включают доказательство теоремы Гротендика — Римана — Роха. Некоторые формулы классической исчислительной геометрии впервые получили здесь современное или строгое доказательство.
Благодарности. Изложенная здесь теория пересечений была развита вместе с Р. Макферсоном. Автор, имя которого стоит на обложке,
отвечает за разработку деталей и многие применения и примеры, однако получение связной теории было достигнуто в сотрудничестве с Макферсоном. В книгу включены также неопубликованные результаты Р. Лазарсфельда и результаты из совместной работы автора с Лазарсфельдом и Жилле. В процессе работы много полезных предложений внесли Коллино, Делинь, Диас, Харрис, Иверсен, Клейман, Лэндман, Лазарсфельд и Серр. Хотя в ряде случаев в тексте отмечается, кто получил данный результат и что было по этому поводу известно ранее, однако многое почерпнутое из разговоров на эту тему (со студентами, например) цитируется без ссылок, но с благодарностью.
Создание этой книги стало возможным благодаря поддержке нескольких фондов и институтов. Фонд Гугенхейма обеспечил мне стипендию в 1980-1981 гг., фонд Слоуна оказал поддержку в 1981-1982 гг., Национальный научный фонд предоставлял субсидии в течение шести лет, пока велись исследования по этой теме. Существенны были также поддержка и гостеприимство следующих институтов и их сотрудников: Математического института унивеситета Орхуса, Дания (1976-1977 гг.), Института высших научных исследований, Бюр-сюр-Иветт, Франция (1981 г.), Института перспективных исследований, Принстон (1981-1982 гг.), и университета Брауна. Летний курс в Кортоне, Италия, в 1980 г. дал возможность проверить предварительный вариант первой части книги. Наконец, остается поблагодарить сотрудников ИПИ и университета Брауна, особенно К. Жак, за перепечатку рукописи и издателей за сотрудничество.
