Замечания и литература
Деформация к нормальному расслоению или конусу имеет интересную историю. Эта конструкция появилась по меньшей мере в трех местах:
(1) Для неособого подмногообразия X неособого квазипроективного многообразия 
у Мамфорда (1959 г., не опубликовано), а также в работах [Jouanolou, 2], [Lascu- Scott 1, 2] и [Lascu - Mumford- Scott 1] использовалось раздутие 
вдоль 
для доказательства важных формул теории пересечений: формулы самопересечения, ключевой формулы, формулы Римана — Роха без знаменателей и формулы для раздутия классов Чженя.
(2) Для идеала I в кольце А Герстенхабер [Gerstenhaber 1] деформировал А в градуированное кольцо 
Алгебра для такой деформации уже появилась в статье [Rees 2].
(3) Для регулярно вложенной подсхемы X многообразия 
и сечения 
векторного расслоения над 
со схемой нулей X Макферсон (ср. [Baum - Fulton - MacPherson 1] и пример 18.1.7) деформировал график 
и при 
отождествлял его с нормальным расслоением к 
В (1) деформация еще не была явной. На самом деле заметное упрощение возникало при использовании рациональной эквивалентности между 
в 
(ср. [Lascu - Scott 2]). Клейман, Ландольфи ([Kleiman - Landolfi 1]), Мамфорд и др. использовали деформацию (2) в алгебраической геометрии, но не в теории пересечений. Граф-конструкция (3) использовалась для решения проблем теории пересечений. Тождество всех трех подходов было установлено в 1974/75 гг. на семинарах Клеймана и Дуади — Вердье ([Douady - Verdier 1]).
Если учесть роль нормальных конусов в самюэлевской конструкции
кратностей пересечения в случае собственных пересечений, а также роль деформации к нормальному конусу при доказательстве формул избыточного пересечения, разумно было бы ожидать, что общие произведения-пересечения должны определяться с помощью нормальных конусов и расслоений. Однако это было осознано лишь после того, как были построены сами пересечения.
Вердье ([Verdier 5]) использовал деформацию к нормальному конусу вместе с гомоморфизмом Гизина для главных дивизоров из статьи [Fulton 2] для построения гомоморфизмов специализации в нормальный конус. Затем он использовал гомоморфизмы специализации для построения гомоморфизмов Гизина для регулярных вложений произвольной коразмерности. Настоящая глава следует изложению Вердье. Кроме пп. (d) и (е) из примера 5.2.1, все результаты имеются в работе [Verdier 5], по крайней мере в квазипроективном случае.
Деформация к нормальному конусу использовалась недавно в статье [Gau - Lipman 1] для доказательства инвариантности кратности при диффеоморфизме.
