Глава 15. Теорема Римана — Роха для неособых многообразий

Резюме

Теорема Гротендика — Римана — Роха (ГРР) утверждает, что для собственного морфизма неособых многообразий

для любого элемента группы Гротендика векторных расслоений или когерентных пучков над Если точка, получается формула Хирцебруха (ХРР) для эйлеровой характеристики векторного расслоения над X:

Цель этой главы — показать, как геометрия деформации к нормальному конусу приводит к простому доказательству ГРР в случае замкнутого вложения Это же доказательство дает соответствующую теорему без знаменателей, которая, в свою очередь, дает простое доказательство формулы для классов Чженя раздутия.

От читателя этой главы потребуется некоторое знакомство с когомологиями когерентных пучков, хотя мы даем в первом разделе обзор необходимых фактов. Кроме того, лишь кратко намечено доказательство ГРР для случая, когда проекция. Для более подробного ознакомления с этими вопросами мы рекомендуем первые девять разделов статьи [Borel - Serre 1].

Хотя теорема Гротендика — Римана — Роха формулируется для произвольных неособых многообразий, доказательство в этой главе дается при дополнительном предположении проективности. Общий случай, включающий многообразия с особенностями, будет рассмотрен в гл. 18.

15.1. Предварительные сведения

для схемы X обозначает группу Гротендика векторных расслоений (или локально свободных пучков) над Определяемый векторным расслоением элемент из обозначается Тогда

- абелева группа, порожденная классами изоморфности векторных расслоений по модулю соотношений где подрасслоение векторного расслоения с факторрасслоением Тензорное произведение превращает в кольцо: Для любого морфизма имеется индуцированный гомоморфизм

переводящий где -обратный образ расслоения Это превращает в контравариантный функтор из схем в коммутативные кольца.

Группа Гротендика когерентных пучков порождается классами изоморфности когерентных пучков на X по модулю соотношений для каждой точной последовательности

Тензорное произведение превращает в -модуль:

Для любого собственного морфизма имеется гомоморфизм

который переводит Здесь гротендиковский пучок высших прямых образов, т. е. пучок, ассоциированный с предпучком

на Фундаментальный факт состоит в том, что пучки когерентны, когда когерентен, а - собственный морфизм ([EGA], III.3.2.1). Корректность определения этого прямого образа следует из длинной точной последовательности для Спектральная последовательность для композиции морфизмов показывает, что является ховариантным функтором для собственных морфизмов.

Прямой и обратный образы связаны обычной формулой проекции:

для собственного морфизма Это следует из формулы для локально свободного расслоения над и когерентного пучка на

Для любой схемы X существует канонический гомоморфизм «двойственности»

переводящий векторное расслоение в пучок его сечений. Для неособого многообразия X это отображение двойственности является изоморфизмом. Причина тут в том, что когерентный пучок неособом многообразии X имеет конечную резольвенту из локально свободных пучков, т. е. существует точная последовательность

с локально свободными Обратный гомоморфизм из переводит в для такой резольвенты. (Подробности см. в дополнении В.8.3.)

Далее мы ограничимся схемами, гладкими над основным полем К. Для такой схемы X группы отождествляются и обозначаются просто Для имеем и мы все время будем пользоваться этим отождествлением. Мы обозначаем через кольцо классов циклов на X по модулю рациональной эквивалентности, и

Существует гомоморфизм, называемый характером Чженя (ср. примеры 3.2.3, 15.1.2)

характеризуемый следующими свойствами:

Для векторного расслоения мы пишем как так и

Характер Чженя не коммутирует с собственным прямым образом. Глубокое понимание сути дела Гротендиком проявилось в переформулировке проблемы Римана — Роха как задачи о сравнении для собственного морфизма Когда точка, векторное расслоение над превращается в

Модель для замкнутых вложений. Чтобы мотивировать общую формулу, мы рассмотрим частный случай замкнутого вложения когда все члены вычисляются явно. В этом модельном случае многообразие X произвольно, где -векторное расслоение ранга d над Вложение есть вложение X как нулевого сечения в продолженное каноническим открытым вложением

Пусть проекция как расслоений и универсальное факторрасслоение над ранга d. Пусть сечение определенное проекцией тривиального сомножителя в Это сечение обращается в нуль в точности на X, т. е. В частности, для любого а

(предложение Кроме того, комплекс Кошуля, заданный сечением

является резольвентой пучка (лемма Поэтому для любого векторного расслоения над X мы имеем явную резольвенту для

Отсюда

Чтобы записать это выражение как образ класса на X, мы хотим, пользуясь (1), поделить правую часть на В самом деле, класс Тодда определяется равенством

(см. примеры 3.2.4 и 3.2.5). Комбинируя (1), (2) и (3), получаем

Так как это можно переписать как

Класс Тодда, подобно полному классу Чженя, переводит суммы в произведения. Поэтому

(ср. дополнение Значит, правая часть (4) равна

и (4) можно переписать как

Теорема Гротендика — Римана — Роха, которую мы докажем, утверждает, что соотношение (5) выполняется для произвольного собственного морфизма

Пример Группа порождается классами Если отображает в точку, то

(b) Для любых имеется внешнее произведение

где проекции. Если это произведение

сюръективно.

(Доказательство совершенно аналогично доказательству соответствующих фактов для рациональной эквивалентности, данному в § 3.3. Действительно, если векторное расслоение над X, то обратный образ биективен и прямая сумма экземпляров Элегантное доказательство этого дано Квилленом

Пример Пусть с есть элементарная симметрическая функция от переменных Пусть Тогда (ср. пример 3.2.3 и [Macdonald 3], с. 32)

Таким образом,

(b) Если векторное расслоение ранга над X, а определяются, как в (а), то (ср. пример 3.2.3)

(c) Если для то Если векторное расслоение ранга для то

(d) Если X — связная схема, то функция, сопоставляющая каждому векторному расслоению его ранг, аддитивна на точных последовательностях и определяет гомоморфизм

При таком понимании ранга и детерминантальном определении как в (а), формулы распространяются на произвольные элементы из Заметим, что, согласно примеру 3.2.7, любой имеет классы Чженя

Пример 15.1.3. Для любого разбиения числа и таких как в примере 15.1.2, определим как сумму всех различных одночленов от которые получаются из перестановкой переменных Например, если то есть многочлен предыдущего примера.

Если векторное расслоение, пусть получен из подстановкой вместо Если

— точная последовательность векторных расслоений, то результат Тома (ср. [Milnor - Stasheff], § 16.2) утверждает, что

где суммирование производится по всем парам разбиений соединение которых равно Это обобщает формулу

Пример 15.1.4 (ср. [Hirzebruch 1], лемма 1.7.1, или [Borel - Serre 1], предл. 10). На пусть Тогда для любого

(Под интегралом стоит степенной ряд от нас интересует его коэффициент при Разделим на и вычислим вычет, делая замену переменных

Пример 15.1.5. Для любой схемы X определим топологическую фильтрацию на полагая равным подгруппе, порожденной когерентными пучками с носителем размерности k. Эквивалентно, порождается классами где V пробегает замкнутые подмногообразия в X размерности k. Если — собственный морфизм, то

Ассоциированные градуированные группы

ковариантны для собственных морфизмов.

Если когерентный пучок, носитель которого имеет размерность к, то определяет -цикл :

где длина ростка 3в общей точке V как модуля над локальным кольцом схемы X вдоль V

Существует единственный сюръективный гомоморфизм

который переводит в в для любого когерентного пучка с носителем размерности k. Этот гомоморфизм ковариантен для собственных морфизмов и пропускается через рациональную эквивалентность, определяя гомоморфизмы

которые сюръективны и коммутируют с гомоморфизмами прямого образа для собственных морфизмов. (Для проверки ковариантности сведем к случаю, когда собственный морфизм многообразий и Заменяя открытым подмногообразием, можно считать морфизм конечным, свободным над В этом случае для Чтобы показать, что пропускается через рациональную эквивалентность, надо использовать пример 1.6.4. Пусть доминантный морфизм, X — многообразие и тогда

для Поэтому Так как для эффективного дивизора Картье на -мерном многообразии, что и требуется.)

Пример 15.1.6. Пусть -произвольная алгебраическая схема и Тогда существует квазипроективная схема X, проективный морфизм и класс такие, что Если основное поле имеет характеристику нуль, можно даже считать X гладкой (хотя, быть может, несвязной); для этого надо использовать теорему Хиронаки о разрешении особенностей. См. лемму 18.3 или [Fulton 4] для доказательства.

Пример 15.1.7 (см. или [Baum - Fulton - MacPherson 2], доп. 2).

(a) Если X — схема, то вложение в X индуцирует изоморфизм .

(b) Если X — замкнутая подсхема схемы то канонически изоморфна группе Гротендика когерентных пучков на с носителем в Пусть X — замкнутая подсхема неособой схемы Тогда канонически изоморфна группе Гротендика ограниченных комплексов локально свободных пучков на точных вне X, по модулю подгруппы, порожденной комплексами, точными всюду на

Пример 15.1.8 (ср. III). Есть класс морфизмов произвольных схем которые называются совершенными и для которых существуют функториальные гомоморфизмы Гизина

В первом предполагается собственным. Для простоты мы определим это понятие только для схем, квазипроективных над фиксированной неособой базисной схемой.

Если замкнутое вложение, то оно совершенно тогда и только тогда, когда обладает конечной локально свободной резольвентой на Из этого следует, что любой локально свободный пучок на X имеет резольвенту на и

Для когерентного пучка на

где есть пучок гомологий комплекса

Общий морфизм совершенный, если он разлагается на замкнутое совершенное вложение гладкий морфизм Если собственный, можно считать что где векторное расслоение над У, а проекция. Тогда полагают Здесь для когерентного пучка на Гомоморфизм

однозначно определяется формулой проекции для и равенством