11.4. Лемма о сдвиге

Пусть циклы на неособом многообразии X над алгебраически замкнутым полем. Если существуют семейства циклов параметризованные неособой кривой то

в В самом деле, если циклы на дающие эти семейства, то (следствие 10.1), и заключение следует из предложения Если пересекает собственно для общей точки то правая сторона (i) дает цикл, представляющий а Если рациональная кривая, то

для всех В самом деле, в этом случае рационально эквивалентны соответственно, а мы уже видели, что произведение-пересечение сохраняет рациональную эквивалентность.

Такая динамическая интерпретация произведений-пересечений особенно полезна в тех случаях, когда деформации возникают естественно. Типичные ситуации: (1) дивизоры могут двигаться в своих линейных системах; (2) подмногообразия могут двигаться в алгебраических семействах подмногообразий (ср. пример 10.1.9 или § 11.3); (3) если X параметризует семейство многообразий, то циклы, параметризующие многообразия, которые находятся в определенном отношении с заданными геометрическими фигурами, будут двигаться при деформации этих геометрических фигур (ср. § 10.4); (4) если на X действует алгебраическая группа, она двигает все циклы на X (ср. пример 11.4.5). Однако в общем случае положительный цикл может не включаться ни в какое семейство положительных циклов; например, кривая на поверхности с отрицательным самопересечением не может быть алгебраически эквивалентна никакому эффективному дивизору, не содержащему эту кривую. Основное содержание леммы о сдвиге состоит в том, что если допустить неположительные циклы, то любой цикл можно так сдвинуть, чтобы его пересечение с другими циклами имело ожидаемую размерность.

Говорят, что циклы на X пересекаются собственно, если каждое многообразие V (соотв. W), входящее с ненулевым коэффициентом в а (соотв. ), собственно пересекает т. е.

Лемма о сдвиге. Пусть X — неособое квазипроективное многообразие и циклы на Тогда существует цикл а, рационально эквивалентный а и пересекающий собственно цикл

В частности, для такого многообразия X произведение-пересечение в определяется знанием произведений циклов, пересекающихся собственно. Исторически лемма о сдвиге как раз и использовалась для построения произведения-пересечения в А (X); для этого нужно было иметь еще более деликатное утверждение о том, что класс рациональной эквивалентности а не зависит от выбора а. Так как мы не пользуемся леммой о сдвиге ни в основаниях, ни в приложениях теории пересечений, мы отсылаем читателя к примерам и литературе.

Пример 11.4.1. Пусть неособое квазипроективное многообразие над алгебраически замкнутым полем и замкнутое вложение в открытую подсхему проективного пространства Пусть неприводимые подмногообразия в Для линейного подпространства размерности пусть конус над замыканием образа с вершиной и пусть пересечение

Если общее подпространство, то собственно пересекает X, и это пересечение в общем трансверсально вдоль V, т. е.

где цикл на X, не содержащий V.

(b) Если где то для общего

Лемма о сдвиге получается индукцией по числу с помощью того факта, что циклы на можно сдвигать (дополнение Пункты (а) и (b) доказываются счетом констант, как в примере 8.4.12. Детали и обобщение на произвольные основные поля см. в работе [Roberts 1].

Пример 11.4.2. Пусть X — многообразие над алгебраически замкнутым полем. Скажем, что циклы на X пересекаются трансверсально, если для каждого многообразия V (соотв. входящего в а (соотв. с ненулевым коэффициентом, каждая неприводимая компонента пересечения проста на трансверсально пересекается с на открытом подмножестве из т. е. Если X неособо и квазипроективно — циклы на X, то существует цикл а на X, рационально эквивалентный а и трансверсально пересекающий (В ситуации примера 11.4.1, если пересекаются собственно, цикл пересекает трансверсально, по крайней мере после замены вложения X в подходящим вложением Веронезе. См. о подробностях.)

Пример 11.4.3. В обозначениях примера 11.4.1 пусть собственная компонента пересечения на Тогда для общего является собственной компонентой пересечения на и

(По тонкой формуле проекции из примера отображается в Если замыкания

Севери ([Severi 9]) пользовался этим методом для сведения произвольных кратностей пересечения к пересечениям в проективном пространстве (ср. пример 8.2.6).

Пример 11.4.4. Единственность индексов пересечения. Мы определили индекс пересечения для компоненты пересечения подмногообразий неособого многообразия X, когда собственна и проста на Если каждая компонента собственна, определен цикл пересечения Следующие свойства определяют индексы пересечения:

(i) Если открытая подсхема в X, пересекающая и пересечения

(ii) (формула проекции). Если замкнутое вложение неособых многообразий, С — подмногообразие в пересекающее трансверсально X по многообразию подмногообразие в собственная компонента пересечения на X, то

(iii) (непрерывность). Пусть неособая кривая, подмногообразие, плоское над и подмногообразие в X, такое, что каждое собственно пересекает на Тогда собственно пересекает

для всех Здесь для цикла а на через обозначен цикл на X, определенный в 10.1.

(iv) (кратность один) Если пересекаются трансверсально в то

(Используем (i) и (ii) и аргументы примера 11.4.3, чтобы свести к случаю, где X — открытая подсхема проективного пространства, единственная компонента Включим V в семейство такое, что для общего пересечение трансверсально. Тогда трансверсально пересекает определяется свойствами (iii) и (iv).)

Отметим, что благодаря лемме о сдвиге произведения-пересечения, охарактеризованные свойствами (i) - (iv), однозначно определяют произведение на для любого неособого квазипроективного многообразия

Пример 11.4.5. Предположим, что рациональная алгебраическая группа действует на многообразии X, например, пусть это произведение общих линейных групп Для пусть обозначает умножение на Тогда для любого отображение

тождественно. (Надо использовать пример 10.1.7(b)). Если транзитивно действует на X, то X неособо, и если подмногообразия в X, то собственно пересекает для общего (дополнение

В.9.2). Поэтому циклы представляют класс .

Пример 11.4.6. Пусть особая поверхность, заданная уравнением Пусть V — ось у. Не существует -цикла а на X, рационально эквивалентного который пересекает V собственно. (Имеется конечный морфизм являющийся изоморфизмом вне Если а собственно пересекает V, то для -цикла а на Так как то а Но порождается [V], ср. пример 1.9.5.)

Пример 11.4.7. Для произвольных особых многообразий лемма о сдвиге неверна, даже если допустить рациональные коэффициенты. Пусть конус над неособой квадрикой вершиной в точке Пусть с X — плоскость, порожденная прямой, лежащей в и Тогда никакое ненулевое кратное не является рационально эквивалентным циклу, не проходящему через (Класс гомологий плоскости не дуален никакому классу когомологий из т. е. для любого с В самом деле, циклы, не проходящие через определяют классы когомологий на X (ср. [Goresky 1]), и порождается классом когомологий квадрики т. е. гиперплоским сечением.) Этот пример рассмотрен в

Если X — факторпространство неособого квазипроективного многообразия по конечной группе, то можно доказать лемму о сдвиге для циклов с рациональными коэффициентами (ср. пример 1.7.6 и 8.3.12). Мамфорд ([Mumford 7]) распространил это на некоторые многообразия — включая пространства модулей стабильных кривых, — устроенные локально как такие факторы.

Пример 11.4.8. Пусть морфизм, неособо, -мерно и квазипроективно.

(a) Пусть а есть -цикл на X, а есть -цикл на Тогда существует цикл на рационально эквивалентный и такой, что а собственно пересекает т. е. В этом случае определен -цикл который представляет класс (Стратифицируя ограничение на компоненты сводим все к обычной лемме о сдвиге, ср. [Fulton 2], § 2.3.) Из § 8.1 мы знаем, что класс рациональной эквивалентности цикла не изменится от замены или а рационально эквивалентным циклом на или Как заметил Демазюр, доказательство этого последнего факта в работе [Fulton 2], § 2.3, предложение 2, ошибочно. В самом деле, большая часть оснований теории пересечений, построенной на лемме о сдвиге, страдает тем неудобством, что требует заботы о собственности пересечений во всех вспомогательных конструкциях.

(b) Предположим, что X — многообразие, доминантен, открыто в и ограничение плоско. Для любого подмногообразия с непустым класс в определенный в § 8.1, представляется циклом (Надо использовать предложения 8.1.1(d) и 8.1.2(a).) Вместе с леммой о сдвиге из п.(а) это определяет обратный образ Гизина

Пример 11.4.9 (Севери). Любой -цикл а на можно записать как собственное пересечение к дивизоров

Эти дивизоры не обязаны быть эффективными, даже если а положителен, пример 9.1.2. Доказательство использует коническую конструкцию примера 11.4.1. См. детали в работе [Samuel 2], И.6.4.