§ 7. Уравнения движения точки в криволинейных координатах. Проекция скорости и ускорения на осн криволинейных координат

Уравнения движения точки в криволинейных координатах

Указанные в § 2 методы задания движения точки не являются единственно возможными. Положение точки в пространстве можно определить тремя независимыми параметрами Примером последних могут служить сферические или цилиндрические криволинейные координаты. В общем случае называются криволинейными координатами, и зависимости их от времени

называются уравнениями движения точки в криволинейных координатах. При этом на функции накладываются те же ограничения, что и на функции в уравнениях (1.1).

Связь декартовых координат с криволинейными

Так как полностью определяют положение точки М в трехмерном пространстве, то радиус-вектор ее будет функцией криволинейных координат:

Соответственно декартовы координаты точки М можно записать в виде:

Выбирая в качестве криволинейных координат сферические координаты, радиус широту и долготу запишем последние соотношения в виде (рис. 25):

Рис. 25

Рис. 26

Выбирая в качестве криволинейных координат цилиндрические координаты (рис. 26), декартовы координаты точки М запишем в виде:

Координатные линии и связанные с ними координатные системы

Если считать, что в выражениях (1.8) изменяется только один параметр (например, а остальные при этом остаются неизменными, то выражения (1.8) определяют кривую трехмерного пространства, которая называется координатной линией. В каждой точке пространства пересекаются три координатные линии, касательные к ним в этой точке определяют три направления, не лежащие в одной плоскости. Указанные направления в общем случае определяют неортогональную криволинейную координатную систему.

Единичные векторы этой системы, которые назовем соответственно определяются по формулам:

где

Единичные векторы будут некомпланарны, так как они не лежат в одной плоскости; представляют собой функции криволинейных координат и носят название дифференциальных параметров Ламе.

Дифференциальные параметры Ламе для сферической системы координат имеют вид: Для цилиндрической системы координат дифференциальные параметры Ламе будут:

Сферические и цилиндрические системы координат будут ортогональны. Последнее следует из равенства скалярных произведений единичных векторов нулю:

Контравариантные и ковариантные составляющие радиуса-вектора

Раскладывая радиус, вектор в направлениях единичных векторов представим его в виде:

где представляют собой косоугольные проекции вектора на неортогональную криволинейную координатную систему. Эти косоугольные проекции называются контравариантными компонентами вектора.

Рассмотрим теперь ортогональные проекции вектора на направления Обозначая эти проекции через и используя скалярные произведения, запишем их в виде:

Ортогональные проекции вектора называются ковариантными компонентами его.

В частном случае ортогональных координатных систем контравариантные и ковариантные составляющие вектора идентичны, что имеет место для сферической и цилиндрической систем осей координат.

Выражение модуля вектора через его контравариантные и ковариантные составляющие

Квадрат модуля радиуса вектора используя формулы (1.9) и (1.10), можно записать в виде:

Следовательно, сумма соответствующих произведений контравариантных и ковариантных составляющих вектора представляет собой квадрат модуля вектора.

Выражение вектора скорости точки в криволинейных координатах

Введенное выше понятие контравариантных и ковариантных составляющих вектора относится к любому вектору. Найдем эти составляющие для вектора скорости точки М.

Обращаясь к соотношению (1.8), запишем:

где тачкой сверху обозначается производная по времени, но

Следовательно, можно записать в виде:

Полученное соотношение представляет собой разложение вектора скорости по контравариантным компонентам его. Пользуясь для них обозначениями запишем:

Ковариантные компоненты вектора скорости будут:

или, используя формулу (1.13), запишем:

где представляют собой косинусы углов между осями, определяемыми единичными векторами

Используя формулу (1.11), (1.13) и (1.14), квадрат модуля скорости запишем в виде:

Квадрат модуля скорости в сферических координатах будет:

и в цилиндрических координатах:

Обобщенные координаты, обобщенные скорости

Независимые параметры, характеризующие положение точки, называют обобщенными координатами. Производные по времени от параметров, характеризующих положение точки, называются обобщенными скоростями.

В настоящем параграфе обобщенными координатами будут криволинейные координаты точки и обобщенными скоростями будут производные по времени от криволинейных координат

В сферической системе координат обобщенные скорости имеют вид:

и в цилиндрической системе координат имеем:

Из последних формул следует, что обобщенные скорости могут быть производной от линейного элемента по времени в этом случае их иногда называют линейной скоростью.

Если же криволинейная координата точки представляет собой угол, то обобщенная скорость называется иногда угловой скоростью. Например,

Леммы об обобщенных скоростях

Прежде чем переходить к рассмотрению вектора ускорения, получим два вспомогательных соотношения, необходимые для преобразования координатных составляющих вектора ускорения. Перепишем равенство (1.12) в виде:

Дифференцируя это равенство по найдем

или производная вектора скорости по обобщенной скорости равна производной от радиуса вектора по обобщенной координате (первая лемма).

Дифференцируя равенство (1.12) по обобщенной координате получим:

Подсчитаем, кроме того, полную производную по времени от частной производной

Так как правые части последних соотношений равны, то равны и левые части их:

Отсюда следует, что полную производную по времени можно вносить или выносить из-под знака частной производной от радиуса вектора по обобщенной координате (вторая лемма).

Ковариантные составляющие вектора ускорения

При рассмотрении вектора ускорения ограничимся рассмотрением ковариантных компонент его, которые обозначим

Используя формулу имеем:

Но можно записать в виде:

Следовательно:

Преобразуем последнее выражение, для этого запишем очевидное тождество:

Используя леммы (1.16) и (1.17), последнее равенство перепишем в виде:

или, так как имеем:

Таким образом, окончательно ковариантные составляющие вектора ускорения приобретают вид: