§ 5. Проекции ускорения на естественные оси

Ускорение при естественной форме задания движения

При естественном задании движения выражение для вектора скорости имеет вид:

Дифференцируя это равенство по t и учитывая изменение как величины алгебраической скорости так и направление единичного вектора получим:

Определим Пусть в некоторый момент времени t точка занимает на траектории положение М (рис. 22, а). Направление ее скорости характеризуется единичным вектором Через время точка сместится по траектории на дугу займет положение и направление ее скорости будет характеризоваться единичным вектором

Рис. 22

Перенесем вектор в произвольную точку пространства (рис. 22, б), тогда

Угол (рис. 22, б) равен углу между касательными в точках М и и носит название угла смежности. Проведем плоскость через

вектор 1° и точку При уменьшений промежутка времени и приближении его к нулю дуга также стремится к нулю, а точка неограниченно приближается к точке М. Плоскость, проходящая через вектор и точку при этом поворачивается. В пределе она будет заключать три бесконечно близкие точки траектории и называться соприкасающейся плоскостью пространственной кривой. При движении точки к точке М плоскость треугольника, образованного также поворачивается и в пределе будет параллельна соприкасающейся плоскости.

Следовательно, в пределе вектор будет лежать в соприкасающейся плоскости. Так как при угол стремится к нулю, и единичные векторы, то в пределе вектор будет перпендикулярен вектору и направлен в сторону вогнутости (или к центру кривизны) траектории в точке М.

Итак, вектор будет направлен по нормали к траектории, которая лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. по главной нормали к кривой в точке М. Направление главной нормали определим единичным вектором п°, направленным к центру кривизны траектории. Поэтому:

Для вычисления предела модуля вектора напишем.

Так как длина вектора равна единице, то дуга окружности единичного радиуса, стягиваемая хордой равна углу довательно,

Предел отношения угла смежности к соответствующей ему дуге при равен, как известно, кривизне кривой. Следовательно:

где — радиус кривизны траектории в данной точке. Наконец,

Таким образом,

и

Разложение ускорения по осям естественного трехгранника

Из формул, определяющих скорость (1.5) и ускорение (1.6), следует, что скорость точки связана с дифференциальными свойствами траектории первого порядка (длина дуги, касательная) и ускорение связано с дифференциальными свойствами второго порядка (радиус кривизны). Поэтому в ряде случаев целесообразно изучать движение точки в координатной системе, образованной главными направлениями пространственной кривой. За эти направления выбирается: направление, определяемое единичным вектором касательной направленным в сторону положительного отсчета дуги траектории; направление, определяемое единичным вектором главной нормали п°, направленным к центру кривизны кривой, и направление, определяемое единичным вектором бинормали направленным так, чтобы вектора образовывали правую систему (рис. 23). Указанная система носит название естественного трехгранника. При движении точки по траектории направление осей естественного трехгранника непрерывно изменяется. Проекции ускорения на оси естественного трехгранника назовем соответственно: Тогда:

Рис. 23

Представление ускорения в указанном виде называют разложением ускорения по осям естественной системы координат.

Используя формулу (1.7), имеем:

где — называется тангенциальным или касательным ускорением точки, — нормальным ускорением точки. Так как то, следовательно, вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся

плоскости траектории, и так как всегда положительно то сумма или вектор ускорения будет направлен к центру кривизны и траектории. В силу ортогональности модуль ускорения можно определить по формуле: