§ 2. Преобразования Лоренца

Основной закон специальной теории относительности

Формулируя основные постулаты классической механики законы Ньютона, мы в рамках теоретической механики не интересуемся историей вопроса и не описываем те эксперименты, которые привели к открытию этих законов. В разделе специальной теории относительности также не будем интересоваться историей открытия основного закона ее и не будем описывать те замечательные эксперименты, которые привели к открытию этого закона, а ограничимся только лишь формулировкой его.

Основной закон специальной теории относительности гласит, что скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях во всех инерциальных системах координат.

Физический смысл этого постулата заключается в том, что при одинаковых условиях физические явления протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах, и, следовательно, никакие

физические опыты (механические, оптические, электромагнитные и т. проводимые в инерциальной системе, не позволяют установить факт ее движения или покоя. Движение такой системы можно обнаружить только по отношению к другой системе. Таким образом, основной закон специальной теории относительности есть обобщение принципа относительности Галилея (см. главу 6, § 3, 4), который оказывается справедливым не только по отношению ко всем механическим явлениям, но и ко всем явлениям физическим.

Сформулированный закон позволяет ввести новые уточненные представления о свойствах пространства и времени и обобщить законы Ньютона таким образом, что они будут описывать движение точек со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Рассмотрению этого и посвящено дальнейшее изложение.

Фундаментальное следствие и математическая запись основного постулата специальной теории относительности

Чтобы уяснить смысл основного закона, рассмотрим две инерциальные системы координат с осями с осями (рис. 146). Пусть в начальный момент начала систем совпадают и в этот же момент в общем начале этих систем вспыхивает мгновенный источник света. Рассмотрим двух наблюдателей, расположенных в системе и . Согласно основному закону специальной теории относительности оба эти наблюдателя должны видеть свою сферическую волну, имеющую для наблюдателя в центр в точке О и для наблюдателя в центр в точке О. Следовательно, уравнение фронта волны в системе

и в системе

Поэтому

Рис. 146

Радиусы R и R сфер в системах согласно основному закону увеличиваются со скоростью света, которую обозначим через с. Если предположить, так же как в ньютонианской механике, что время течет неизменным образом в системах , следовательно, то в силу инерциальности переход от

одной системы к другой осуществляется при помощи преобразования Галилея. Но последнее противоречит равенству (28.5). Действительно, если и воспользоваться частным видом преобразования Галилея, то придем к противоречивому равенству:

Таким образом, предположение ньютонианской механики о том, что время течет одинаковым образом в инердиальных системах, противоречит основному постулату специальной теории относительности.

Итак, следствием основного постулата специальной теории относительности является различное течение времени в различных инерциальных системах координат. Итак, понятие.времени относительно (зависит от выбора системы координат) в релятивистской механике. Этот фундаментальный вывод принадлежит Эйнштейну. Из него следует, что , следовательно, равенство (28.5) окончательно принимает вид:

Это соотношение представляет собой математическую запись основного закона специальной теории относительности. В релятивистской механике оно заменяет постулат неизменности течения времени ньютонианской механики.

Преобразования Лоренца

Итак, преобразование Галилея не отвечает основному постулату специальной теории относительности. Поэтому его следует заменить новым преобразованием, которое базируется на основном постулате специальной теории относительности и отвечает инерциальности координатных систем.

Математическое условие инерциальности координатных систем, как указывалось, означает линейность преобразования метрических координат относительно координат и времени:

Математическая запись основного постулата (28.5), который определяет это преобразование, может быть переписана в виде:

Условия искомого преобразования (28.6) и (28.7) предполагают, что наравне с метрическими координатами изменяется и время. Следовательно, необходимо указать характер изменения временной

координаты t. Последнее можно сделать, используя равенство (28.7). Действительно, если рассматривать как координаты четырехмерного пространства, то условия (28.7) будут условием ортогональности (как это указывалось ранее) преобразования поворота четырехмерных координатных систем. Отсюда координата преобразуется, согласно равенству:

где коэффициенты мнимы. Разделив последнее равенство на и вводя действительные коэффициенты согласно равенствам:

запишем

Следовательно, искомое преобразование координат специальной теории относительности, осуществляющее переход от одной инерциальной координатной системы к другой, должно иметь вид:

Эти формулы осуществляют равноправность временной и метрических координат при преобразовании одной инерциальной системы в другую.

Дальнейшим шагом является определение коэффициентов преобразования (28.9) из физических условий поставленной задачи. Явный вид преобразования (28.7) впервые был указан Лоренцом. Благодаря этому искомое преобразование получило название преобразования Лоренца.

Частный вид преобразования Лоренца

Как уже указывалось, выбор той или иной системы координат произволен. Поэтому, находясь в рамках инерциальных систем, так же как для частного случая преобразования Галилея, выберем оси системы параллельными осям системы и оси z и направленными вдоль скорости движения системы относительно .

Так как движение системы происходит в направлении оси z, то преобразование координат ничего не меняет (так как это

означает перенос начала координат в плоскости что благодаря однородности пространства не может изменить картину преобразования). Следовательно,

В силу линейности преобразования координаты и t при этом преобразуются по формулам вида:

где — постоянные, подлежащие определению. Основной закон специальной теории относительности в этом частном случае имеет вид:

Чтобы упростить процесс определения введем новые переменные и постоянные по формулам:

Тогда соотношения (28.11) и (28.12) примут вид:

Но формулы (28.14) представляют частный вид преобразования поворота системы в четырехмерном пространстве, рассмотренный в § 2 главы 26. Следовательно, коэффициенты, входящие в это преобразование, можно представить в виде:

и

Для того чтобы определить параметр рассмотрим движение начала системы по отношению к системе

Так как начало координат системы имеет скорость в направлении то при

Знак плюс в предыдущей формуле соответствует движению системы относительно в положительном направлении оси z и знак минус соответствует движению системы относительно в отрицательном направлении оси z. Примем в дальнейшем для определенности, что система движется в положительном направлении оси z. Тогда при или переходя к переменным по формулам (28.13), найдем условия, которым они удовлетворяют в виде: при

Обращаясь к первому равенству (28.15), найдем в виде:

Отсюда, используя тригонометрические формулы, найдем:

Следовательно,

Возвращаясь к переменным z и t по формулам (28.13) и присоединяя формулы (28.10), запишем искомое преобразование координат и времени в виде:

Это частный вид преобразования Лоренца, которое содержит все особенности и свойства этого преобразования и является самой простой формой его. Благодаря этому указанное преобразование получило в литературе название чисто Лоренцева преобразования. Преобразования Лоренца (28.17) соответствуют случаю, когда система движется относительно системы вдоль положительного направления оси z. Если система движется относительно системы вдоль отрицательного направления оси z, то при следует взять знак минус (о чем говорилось в начале настоящего пункта), и преобразования Лоренца приобретут вид:

Связь между преобразованием Лоренца и преобразованием Галилея

Рассмотрим случай, когда система движется относительно системы со скоростью величина которой мала по сравнению со скоростью света с . В этом случае члены и малы по сравнению с единицей и ими можно пренебречь. Преобразование Лоренца в этом случае приобретает вид преобразования Галилея:

Следовательно, преобразования Галилея есть предельный случай преобразования Лоренца, имеющий место для систем координат, скорость движения которых мала по сравнению со скоростью света.

Следует заметить, что преобразования Лоренца строго обращаются в преобразования Галилея, если положить, что скорость света с бесконечно велика.

Таким образом, преобразование Галилея (и, следовательно, классическая механика) предполагает мгновенное распространение света, а преобразование Лоренца учитывает конечность распространения света.

Обратное преобразование Лоренца

Из указанного чисто Лоренцева преобразования можно найти обратное преобразование, т. е. переход от системы к системе х, у, z, t. Именно, определяя х, у, z, t из последних

соотношений, найдем:

Формулы обратного преобразования отличаются от основных формул (28.17) только знаком при члене, содержащем и совпадают с формулами (28.17). Отсюда можно сделать заключение, что, если система движется относительно системы со скоростью то система относительно движется со скоростью Этот физически тривиальный результат в механике Ньютона не является тривиальным в специальной теории относительности, так как единицы длины и времени в системах и непосредственно несравнимы, о чем подробно будет говориться далее.

Заключение

Из всего вышеизложенного можно сделать заключение, что строго переход от одной инерциальной системы к другой осуществляется при помощи преобразований Лоренца. Преобразования же Галилея представляют собой только приближенный метод перехода от одной инерциальной системы к другой, которымможно пользоваться только при относительных скоростях движения координатных систем, далеких от скорости света.

В заключение подчеркнем, что преобразование Лоренца (подобно преобразованию Галилея) включает в себя первый закон Ньютона и основной постулат специальной теории относительности.