§ 2. Координатные системы, связанные с Землей

Переносное ускорение, вызванное вращением Земли вокруг оси

Как уже указывалось, координатные системы, связанные с Землей, не являются инерциальными. Это вызвано вращением Земли вокруг оси и вокруг Солнца. Однако во всех технических задачах в качестве базы используется вторая аксиома механики, которая справедлива только для инерциальных систем. Уравнение движения для неинерциальных систем, полученное в предыдущем параграфе позволяет оценить ошибку, которая при этом совершается.

Рассмотрим сначала результат неинерциальности системы координат, связанной с Землей, вызванный вращением Земли вокруг оси. В первом приближении Землю можно рассматривать рак сферу.

Вращение Земли вокруг оси порождает переносное и кориолисово ускорения, а следовательно, и соответствующие им силы инерции . Так как Земля вращается с постоянной угловой скоростью , то имеет место только центростремительное переносное ускорение, равное:

где — радиус параллели, на которой находится данная точка (рис. 61). Вектор этого ускорения лежит в плоскости параллели и направлен к земной оси. Так как

где R — радиус Земли, а широта параллели, то

Полный оборот вокруг своей оси Земля совершает приблизительно за среднего солнечного времени (точно за звездного времени), поэтому

Рис. 61

Наибольшее центростремительное ускорение имеет место на экваторе, т. е. при Принимая получим для экватора

Это приблизительно в 300 раз меньше ускорения силы земного притяжения.

Отклонение силы тяжести тела от радиуса Земли

Наличие центростремительного ускорения приводит к тому, что вес тела не совпадает точно с силой его притяжения, а вертикаль несколько отклоняется от направления земного радиуса.

Действительно, рассмотрим неподвижную (по отношению к Земле) точку массы подвешенную на нити (рис. 62).

Она находится в относительном равновесии под действием трех сил: притяжения к Земле реакции нити Т и силы инерцйи переносного движения . направленной противоположно ускорению и равной:

Рис. 62

Сила инерции Кориолиса равна нулю, поскольку равна нулю относительная скорость точки, и, согласно относительному уравнению равновесия точки, имеем:

Отсюда

Но реакция нити по величине равна весу тела и направлена в противоположную сторону

Следовательно:

Таким образом, вес тела представляет собой равнодействующую гравитационной силы и силы инерции переносного ускорения Земли. Направление этой равнодействующей и определяет истинную вертикаль в данном месте Земли. Из рис. 62 следует, что она не совпадает с радиусом Земли и отклоняется от него на угол а. Определим его.

Широтой места на Земле называется угол между направлением истинной вертикали и плоскостью экватора. Из теоремы синусов следует, что

Угол а весьма мал, и без существенной ошибки можно положить

Тогда

Но

И поэтому

Отсюда следует, что направление истинной вертикали совпадает с радиусом Земли лишь на полюсе на экваторе а максимальное отклонение имеет место на широте . Оно равно

Эта величина настолько мала, что в подавляющем большинстве технических задач может не приниматься во внимание.

Отличие силы тяжести от гравитационной силы

Вычислим величину силы тяжести Для этого достаточно спроектировать на направление истинной вертикали силы

Ввиду малости угла а можно положить тогда

Гравитационная сила F больше силы тяжести во всех точках Земли, за исключением полюсов Земли, где они равны. Максимальное отклонение имеет место на экваторе, где вес равен:

Здесь ускорение силы тяжести на полюсе, вес тела на полюсе. Вес тела на экваторе меньше гравитационной силы всего лишь на 0,3%. Поэтому в технических вопросах этой разницей пренебрегают.

Учет переносной силы инерции в условиях Земли

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Допустим, что изучаемое движение материальной точки протекает в области, размеры которой малы по сравнению с радиусом Земли. Тогда сила Фпер будет постоянной подобно силе Складывая их, получим силу которая тоже будет постоянной. Следовательно, для учета переносной силы инерции нет необходимости рассматривать ее отдельно, а достаточно вместо гравитационной силы ввести в уравнение движения силу которая, как и сила является для данного места Земли известной. Заканчивая рассмотрение переносной силы инерции, отметим, что она направлена в сторону, обратную центростремительному ускорению. Благодаря этому в физике она имеет весьма распространенное там название центробежной силы.

Поворотная сила инерции, вызванная вращением Земли вокруг оси

Рассмотрим поворотную силу или кориолисову силу инерции, вызванную вращением Земли вокруг оси. Она равна

и как величина ее, так и направление зависят от относительной скорости точки. Поворотная сила отсутствует только в двух случаях:

когда точка находится в покое относительно Земли или когда она движется параллельно земной оси (векторы коллинеарны).

Для оценки величины ускорения Кориолиса рассмотрим случай, когда относительная скорость перпендикулярна вектору . Для того чтобы ускорение Кориолиса имело величину нужна относительная скорость, равная

С такими скоростями движутся, например, артиллерийские снаряды и ракеты. В этих случаях кориолисова сила может оказать ощутимое влияние на характер движения и, в частности, вызвать заметное отклонение снаряда от цели. Хотя в большинстве случаев кориолисовой силой можно пренебречь, однако встречаются явления, в которых она проявляет себя довольно заметным образом. К таким явлениям относится, например, размыв правого берега рек в северном полушарии и левого берега рек в южном полушарии. Рассмотрим этот пример подробнее.

Законы Вера и Бейс—Бало

Пусть река северного полушария течет вдоль земного меридиана с севера на юг (рис. 63). Переносная скорость любой точки Земли направлена по касательной к параллели с запада на восток и равна:

Частицы воды, помимо своей относительной скорости, обладают еще указанной выше переносной скоростью. Сдвигаясь с севера на юг, они переходят с одной параллели на другую, имеющую больший радиус и поэтому переносная скорость непрерывно возрастает, не изменяя своего направления (с запада на восток). Кроме того, благодаря вращению Земли относительная скорость изменяет свое направление в пространстве, поворачиваясь с запада на восток.

Рис. 63

Это приводит к тому, что частицы воды ускоряются, и значит, в направлении ускорения на них действует сила. Эта сила возникает от давления западного, т. е. правого берега реки на воду. По закону равенства действия и противодействия вода будет с такой же силой давить на правый берег, постепенно размывая его. В современном полушарии при любом направлении течения реки размыванию всегда подвергается правый берег. В южном полушарии, как можно показать рассуждениями, подобными приведенным, размыванию подвергается левый берег реки. Рассмотренное явление называется законом Бера.

Значительно проще тот же результат можно получить, применяя формально формулу поворотной силы инерции.

В рассмотренном случае относительные скорости весьма малы, и, следовательно, силы Кориолиса также весьма малы, однако непрерывное и длительное их действие приводит к заметным результатам. Еще большее влияние сила Кориолиса оказывает на течения в океане. Например, под ее действием теплое течение Гольфстрим отклоняется вправо.

Влияние силы Кориолиса объясняет также тот факт, что в северном полушарии ветер отклоняется вправо от того направления, в котором происходит падение давления (в южном полушарии — влево). Указанное явление известно в метеорологии под названием закона Бейс — Бало.

Подводя итог сказанному, следует заключить, что поправки на неинерциальность систем координат, жестко связанных с Землей, вызванные вращением последней вокруг оси, как правило, столь незначительны, что в подавляющем большинстве технических задач вторая аксиома механики с вполне достаточной точностью описывает механические явлеиия.

Силы инерции, вызванные вращением Земли вокруг Солнца

Рассмотрим теперь силы инерции, действующие на земные тела, возникающие в результате вращения Земли вокруг Солнца.

Земля движется вокруг Солнца с приблизительно постоянной скоростью по орбите, близкой к окружности с центром в Солнце, делая один оборот за год. Переносное ускорение материальных точек, расположенных на Земле, вызванное этим движением, будет центростремительное ускорение, направленное к Солнцу. Соответствующая сила инерции переносного движения (центробежная сила) направлена от Солнца. Кроме этого, на ту же точку действует гравитационная сила Солнца. Векторная сумма указанных сил практически будет равна нулю.

Силы Кориолиса, возникающие в результате движения точки по поверхности Земли и вращения Земли вокруг Солнца, будут пренебрежимо малы по сравнению с силами Кориолиса, возникающими благодаря только вращению Земли вокруг оси, так как угловая скорость вращения Земли будет во много раз больше угловой скорости вращения Земли вокруг Солнца

Поэтому неинерциальностью координатных систем, связанных с Землей и вызванных движением последней по орбите, можно пренебречь по сравнению с аналогичными поправками, вызванными вращением Земли вокруг оси.