§ 4. Уравнения Лагранжа второто рода для частных случаев сил, действующих на систему

О силах, действующих на механические системы

В предыдущем параграфе при выводе уравнений Лагранжа второго рода не делалось каких-либо предположений относительно сил, действующих на механическую систему. В настоящем параграфе рассмотрим частные случаи механических систем, находящиеся под воздействием сил определенного вида. Как указывалось в § 2 главы 7, силы, встречающиеся в природе, можно разбить на три класса: силы, зависящие от времени, силы позиционные и силы сопротивления среды.

В задачах, где используются уравнения Лагранжа второго рода, учет сил, зависящих от времени, сводится к заданию обобщенных сил, которые представляют собой периодические функции времени. Поэтому на таких системах специально останавливаться не будем и ограничимся рассмотрением двух других классов сил.

Обобщенные силы консервативных систем

Среди сил, действующих на механические системы, особое место по своему распространению и важности описываемых задач имеют силы, принадлежащие потенциальному силовому полю. Это позиционные силы, среди которых весьма важную роль играют упругие силы и центральные силы, меняющиеся обратно пропорционально квадрату расстояния. Рассмотрим, каковы будут уравнения Лагранжа для сил, принадлежащих силовому полю. Для этого подсчитаем предварительно обобщенные силы. Пусть на систему,

состоящую из материальных точек, действуют силы потенциального поля, которые запишем в виде:

где есть силовая функция системы, зависящая от координат всех точек, принадлежащих механической системе:

Переходя к обобщенным координатам системы заменим в последнем выражении декартовы координаты через обобщенные, тогда функцию можно будет записать в виде:

Заметим, что силовая функция, выраженная через обобщенные координаты в случае нестационарных связей, будет явно зависеть от времени.

Подсчитаем обобщенные силы. Так как

то, подставляя значения проекций сил через силовую функцию запишем:

Отсюда

Следовательно, для сил потенциального поля обобщенные силы представляют собой частные производные от силовой функции по соответствующей обобщенной координате.

Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем

Для сил потенциального поля уравнения Лагранжа второго рода будут вида:

Введем функцию Лагранжа (которую обозначим через определяемую равенством:

Из определения следует, что она в общем случае будет функцией времени t, обобщенных координат и обобщенных скоростей. Так же как и кинетическая энергия Т, функция Лагранжа будет содержать члены второго, первого и нулевого измерения относительно обобщенных скоростей

Так как не зависит от обобщенных скоростей, то

Вводя функцию Лагранжа в уравнения движения, запишем их в виде;

Последние уравнения представляют собой уравнения Лагранжа второго рода для систем, на которые действуют потенциальные силы.

Заметим, что в литературе, посвященной вопросам теоретической физики, под уравнениями Лагранжа второго рода подразумевается система последних уравнений.

Функция Лагранжа. Характеристическая функция

Смысл и значение полученных уравнений заключаются в том, что функция Лагранжа включает в себя всю постановку задачи о движении механической системы. Действительно, она включает в себя силы (которые характеризуются массы точек (которые входят в Г) и уравнения связей (которые учитываются обобщенными координатами). Таким образом, задание функции Лагранжа в явном виде представляет собой постановку задачи о движении механической системы.

Функции, обладающие указанным свойством, называются характеристическими. Таким образом, функция Лагранжа является характеристической функцией.

Функция Лагранжа зависит от обобщенных координат механической системы обобщенных скоростей и времени t. Все эти переменные называются переменными Лагранжа. Когда известна функция Лагранжа, уравненения движения системы составляются по формальным правилам.

Так как функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергии то указанный подход к рассмотрению механических задач следует

назвать энергетическим. Удобство такого подхода в ряде задач из вышеуказанного, очевидно.

Заметим, что среди физиков часто пользуются сокращенным названием функции Лагранжа, именно ее называют Лагранжиан.

Обобщенная силовая функция

В некоторых задачах (движение заряженной частицы в электромагнитном поле) обобщенные силы задаются в виде:

где М есть функция обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени. Эту функцию естественно назвать обобщенной силовой функцией.

Уравнение движения в этом случае можно записать в виде (21.14), если под функцией Лагранжа подразумевать выражение

Таким образом, в общем случае под функцией Лагранжа нельзя понимать только разность кинетической и потенциальной энергии системы. Последнее выражение можно рассматривать как некоторое обобщение понятия функции Лагранжа.

Обобщенные силы систем, на которые действуют силы сопротивления среды

Как указывалось (см. главу 7, § 2), силы, зависящие от скорости, представляют собой силы сопротивления, причем весьма распространены силы сопротивления, пропорциональные первой степени скорости, которые могут быть записаны в виде:

где — постоянные положительные коэффициенты, вектор скорости точки системы.

Вычислим обобщенные силы, соответствующие силы Так как

Ограничимся рассмотрением стационарных связей, тогда будут линейнои функцией обобщенных скоростей, представляют

собой функции обобщенных координат. Следовательно, будут линейными функциями обобщенных скоростей и могут быть записаны в виде:

где представляют собой коэффициенты, зависящие от обобщенных координат, и

Диссипативная функция Рэлея

Введем однородную квадратичную функцию обобщенных скоростей вида:

Тогда обобщенные силы будут выражаться равенствами:

Функция Ф, связанная с силами сопротивления среды, аналогична силовой функции консервативных систем. Она носит название (по причинам, которые указаны ниже) функции рассеяния или диссипативной функции Рэлея.

Закон рассеяния механической энергии

Уравнения движения механических голономных систем с идеальными связями, на которые действуют консервативные силы, и силы сопротивления среды, зависящие от первой степени скорости, можно представить в виде:

или, вводя функцию Лагранжа, запишем:

(уравнения последнего вида, учитывая понятие обобщенной силовой функции, могут быть истолкованы шире, чем предыдущие урав нения).

Из последних уравнений может быть получен закон, определяющий изменение во времен, и механической энергии системы.

Действительно, умножим каждое уравнение на соответствующую обобщенную скорость и просуммируем полученные равенства. Тогда получим:

Далее имеем:

Но последняя сумма представляет собой (в случае стационарных связей), полную производную от L по времени

Следовательно, исходное уравнение можно переписать в виде:

Так как функция рассеяния будет однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей, то, применяя теорему Эйлера, имеем:

и

При стационарных связях кинетическая энергия системы будет однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей и

Следовательно:

и исходное уравнение имеет вид:

где Е есть полная механическая энергия системы.

Из последнего равенства следует, что при движении системы в сопротивляющейся среде скорость убывания механической энергии системы равна удвоенной функции рассеяния Ф, которая вследствие этого должна быть существенно положительной. Указанный механический смысл функции рассеяния определяет ее название.

Консервативные системы

Если силы, действующие на систему, потенциальны и связи склерономны, то, как следует из последнего равенства, справедлив закон сохранения механической энергии Такие системы называются консервативными.

Обобщение понятия полной механической энергии системы

Как указывалось раньше, под функцией Лагранжа можно подразумевать не только разность кинетической и потенциальной энергии. Рассматривая обобщенное понятие функции Лагранжа предположим, что она не зависит явно от времени . Положим, кроме того, что на систему не действуют силы сопротивления среды. В этом случае уравнения движения системы будут:

Производя преобразования, проделанные ранее от этих уравнений, перейдем к уравнению:

Левая часть этого выражения представляет собой полную механическую энергию (показано ранее), если есть разность кинетической и потенциальной энергии и связи стационарны. Все последнее выражение в указанном случае представляет закон сохранения

механической энергии. Если представляет собой обобщение понятия функции Лагранжа (связи не стационарны), то выражение

можно рассматривать как обобщение понятия полной механической энергии системы. Это выражение обозначается через Н; Н так же, как и функция Лагранжа, в соответствии со своим определением, будет зависеть от обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени t. Однако в дальнейшем окажется удобнее ее выразить через другие переменные.