ГЛАВА 25. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§ 1. Малые колебания и их роль в технике

Малые колебания, их затухание и усиление

В современной технике существенную роль играют колебательные движения с малыми амплитудами и скоростями или, как их коротко называют, малые колебания механических систем.

Возникают эти колебания следующим образом.

Все твердые тела, с которыми приходится иметь дело в технике, обладают в той или иной степени свойством упругости, и это приводит к тому, что частицы тела, подвергнутого деформации, начинают совершать малые колебательные движения около равновесного положения. Подобно тому, как совершает колебательное движение точка под действием упругой силы. Эти колебания тел или механических систем обычно называют упругими малыми колебаниями.

Малые колебания широко распространены в самых различных областях техники. В машиностроении, например, широко распространены колебания коленчатых валов различных двигателей и колебания валов всевозможных турбин. В строительном деле широко распространены малые колебания стен зданий фундаментов машин, мостов и подъемных кранов. Малые колебания локомотивов, автомобилей, кораблей и самолетов указывают на широкое распространение малых колебаний в транспортных машинах.

В ряде случаев упругие малые колебания затухают под действием сил сопротивления. Подобно тому, как затухают собственные колебания точки под действием сил сопротивления среды, пропорциональных первой степени скорости.

В ряде случаев упругие малые колебания поддерживаются периодическими силами, действующими на систему. Подобно тому, как поддерживает колебательное движение точки возмущающая сила, периодически зависящая от времени.

В ряде случаев малые колебания при наличии возмущающих сил вызывают разрушение системы. Это явление резонанса, с которым мы столкнулись при изучении колебательных движений точки.

Одной из важнейших задач современной техники является изучение малых колебаний с целью предупреждения и предотвращения возможного разрушения системы.

Механизм как механическая система с конечным числом степеней свободы

Рассматривая колебательные движения сплошных деформируемых тел, их следует трактовать как механическую систему с бесконечным числом степеней свободы. Однако, рассматривая конкретно те или иные механизмы или конструкции, можно в ряде случаев считать, что они составлены из частей, являющихся абсолютно твердыми телами. В этом случае механизм можно рассматривать как систему с конечным числом степеней свободы, а его вибрации — как малые колебания механической системы с конечным числом степеней свободы.

Простота математической стороны изучения малых колебаний систем с конечным числом степеней свободы

Изучение колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы с точки зрения теоретической механики в целом представляет собой пример применения общих уравнений Лагранжа второго рода к конкретной механической задаче.

Предположение о малости колебаний механической системы значительно упрощает математическую сторону задачи, так как это предположение приводит к линеаризации уравнения движения, как это будет следовать из дальнейшего. Благодаря этому решение поставленных задач получается в общем виде в конечной форме, а это позволяет подробно исследовать характер движения системы независимо от конкретных свойств системы и конкретного характера сил, действующих на нее.