§ 2. Устойчивое равновесие консервативной системы

Консервативные системы и ее положение равновесия

Как следует из примера изучения колебательного движения материальной точки, собственное движение системы вызывается упругой силой. Ранее было показано, что упругая сила принадлежит к потенциальному силовому полю. Следовательно, переходя к изучению собственных колебательных движений механических систем, следует предположить, что такие движения вызываются силами потенциального поля. Отсюда, если система обладает s степенями свободы, то обобщенные силы ее запишутся через силовую функцию U или потенциальную энергию П в виде:

Как следует из изучения движения точки, колебания ее происходят около положения равновесия. Колебательное движение системы также будет происходить около положения ее равновесия, которое характеризуется условиями.

Эти условия указывают на то, что колебательные движения системы могут происходить около положений, характеризуемых относительным экстремумом силовой функции или потенциальной энергии системы. Однако не около всякого положения равновесия возможно колебательное движение системы.

Определение устойчивого положения равновесия механической системы

Пусть механическая система состоит из материальных точек, которые находятся в равновесии под действием приложенных к ним сил. Дадим точкам этой системы малые отклонения от положения равновесия и малые начальные скорости. Тогда система придет в движение. Если во все время, следующее за нарушением равновесия, точки системы остаются в непосредственной близости к своему равновесному положению, то это положение называется устойчивым. В противном случае равновесие системы называется неустойчивым. Говорить о колебаниях системы можно только в том случае, когда эти колебания происходят около положения устойчивого равновесия. Если положение системы неустойчиво, т. е. если при малом отклонении от положения равновесия и малых скоростях система отходит от него еще дальше, то нельзя говорить о колебаниях системы вблизи этого положения. Следовательно, изучение колебаний системы следует начать с установления критерия устойчивости равновесия механической системы.

Критерий устойчивости равновесия консервативной механической системы

Критерий устойчивости равновесия консервативной системы устанавливает теорема Лагранжа — Дирихле, которая состоит в следующем: если механическая система обладает стационарными связями и консервативна и если в положении равновесия этой системы ее потенциальная энергия имеет минимум (т. е. силовая функция имеет максимум), то равновесие системы является устойчивым.

Докажем эту теорему. Пусть положение механической системы определяется обобщенными координатами которые отсчитываются от положения равновесия. Тогда в этом положении будем иметь:

Величины можно рассматривать как координаты точки в -мерном пространстве. Тогда каждому положению системы будет соответствовать определенная точка этого пространства. В частности, положению равновесия будет соответствовать начало координат О.

Потенциальную энергию П будем отсчитывать от положения равновесия, полагая, что в этом положении что не нарушает общности рассуждений, так как потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной.

Зададимся каким-нибудь положительным числом и опишем из точки О сферу радиуса . Область, ограничиваемую этой сферой, обозначим через Число будем считать произвольным, но достаточно малым. Тогда для любой точки на границе области D будет выполняться неравенство:

так как в точке О функция П равна нулю и имеет минимум.

Пусть наименьшее значение П на границе области D равно Р. Тогда для любой точки, принадлежащей этой границе, будем иметь

Выведем теперь систему из положения равновесия, сообщив ее точкам столь малые начальные отклонения и столь малые начальные скорости, чтобы выполнялись неравенства:

где — начальные значения потенциальной и кинетической энергии. Тогда будем иметь:

Но при дальнейшем движении системы в силу закона сохранения механической энергии, который справедлив для консервативных систем со стационарными связями, будет выполняться равенство:

Откуда

и как следствие того, что , имеем:

Из полученного неравенства вытекает, что движение рассматриваемой системы будет таким, что точка, изображающая эту систему, будет все время оставаться в области . В самом деле, предположим, что эта точка выйдет из области Тогда в некоторый момент t она

проходит границу этой области, и, следовательно, в этот момент выполняется неравенство:

противоречащее последнему неравенству:

Таким образом, движение рассматриваемой системы будет протекать в пределах области из чего заключаем, что равновесие этой системы устойчивое.