§ 2. Собственные колебания системы

Уравнения собственных колебаний

Как уже говорилось, колебательные движения системы вызываются консервативными силами. Поэтому изучение колебательных движений системы с двумя степенями свободы начнем с изучения движения ее под действием сил, принадлежащих потенциальному силовому полю. Эти движения, так же как и в случае прямолинейного колебания точки, называются собственными движениями системы. Дифференциальные уравнения движения в этом случае имеют вид:

Уравнения частот

Полагая, что движение, описываемое этими уравнениями, является колебательным (в дальнейшем это будет доказано), будем искать частные решения дифференциальных уравнений в тригонометрической форме

где и — постоянные величины.

Определяя и подставляя найденные значения в исходные уравнения, придем к уравнениям вида:

которые являются линейными однородными уравнениями относительно Решение этих уравнений будет отлично от нуля, если детерминант, составленный из коэффициентов при будет равен нулю

Полученное соотношение есть квадратное уравнение относительно Оно носит название характеристического уравнения или уравнения частот

Докажем, что оба корня этого квадратного уравнения действительные и положительные. Тем самым будет доказано, что решение исходных уравнений можно искать в тригонометрической форме. Запишем уравнение частот в виде

Найдем значения функции при равных:

Положим для определенности, что

При имеем:

В силу условия, связывающего имеем:

Следовательно, при положительно.

Далее при имеем.

Отсюда имеем, что при отрицательно.

При имеем.

Следовательно, при отрицательно

Рис. 140

Наконец, при

Следовательно, график функции будет вида, указанного на рис 140. Функция проходит через нуль один раз в промежутке между второй раз в промежутке между

Эти нули соответствуют двум положительным корням и кг уравнения частот. Уравнению частот можно придать вид

Откуда определяются по формуле:

Частные решения уравнений

Так как уравнения, определяющие зависимы, то из них можно найти только отношение их. Взяв, например, найдем отношение которое обозначим в виде:

где будет определенное число.

В этом отношении, например, может принимать любое постоянное значение. Обозначая его как произвольную постоянную можем, например, принять:

Однако в целях большей симметрии формул, определяющих целесообразнее записать например, в виде:

Таким же образом для корня можем найти

где — произвольная постоянная.

Так как никаких ограничений на постоянные а не накладывается, то исходные дифференциальные уравнения движения допускают два частных независимых решения вида:

где — произвольные постоянные.

Причем:

— определенные постоянные величины.

Главные колебания и собственные частоты системы

Двум полученным частным решениям уравнений движения соответствует некоторое гармоническое колебательное движение системы. Эти два движения носят название главных колебаний системы.

Частота главных колебаний носит название собственных частот системы.

Если система совершает какое-либо главное колебание, то обе обобщенные координаты ее изменяются по гармоническому закону, имея одинаковые частоты и фазы. Это значит, что обе обобщенные координаты одновременно приходят в положение равновесия, одновременно достигают максимальных отклонений от положения равновесия и т. д.

Амплитуды колебаний обеих обобщенных координат различны, но отношение их остается постоянным, не зависит от начальных условий и определяется только структурой движущейся системы. Амплитуда и начальная фаза главного колебания определяются начальными условиями системы. Частота колебаний системы зависит только от характеристик движущейся системы.

Общее решение уравнений движения

В силу линейности дифференциальных уравнений движения сумма частных решений этих уравнений дает новое решение. Следовательно, имеем:

В это решение входят четыре произвольных постоянных Так как уравнения движения представляют собой систему двух дифференциальных уравнений второго порядка, то общее решение этой системы должно содержать четыре произвольных постоянных. Следовательно, найденное решение есть общее решение уравнений движения. Произвольные постоянные этого решения определяются из начальных условий вида: при

Принцип наложения малых колебаний

Полученное решение уравнений движения системы указывает, что каждая из обобщенных координат системы совершает сложное колебательное движение, которое является результатом наложения двух главных колебаний системы различных частот Последний результат носит название принципа наложения малых колебаний. Так как частоты наложенных колебаний в общем случае несоизмеримы, то движение механической системы не будет периодическим. Смысл принципа наложения заключается в том, что

сложное результирующее движение можно представить в виде суммы простых главных колебаний, которые представляют собой гармонические движения.

Все рассуждения настоящего параграфа относились к случаю, когда уравнения частот были различны и не равны нулю. Если эти корни равны между собой или один из них равен нулю, то эти случаи требуют специального исследования.