§ 6. Теорема о кинетическом моменте

Второе основное уравнение движения механической системы

Исследуем второе уравнение движения механической системы (11.3). Так как правая часть этого уравнения представляет собой главный момент всех внешних сил, действующих на механическую систему, то это уравнение может быть записано в следующем виде:

Момент количества движения системы

Рассмотрим левую часть последнего уравнения. Каждое слагаемое стоящей там суммы можно представить в виде:

Но

вследствие коллинеарности перемножаемых векторов. Следовательно,

Векторное произведение обозначается через и называется моментом количества движения точки или кинетическим моментом материальной точки относительно пространственной точки О:

и

Сумма кинетических моментов всех точек системы, вычисленных относительно одного центра О, называется моментом количества движения или кинетическим моментом системы относительно точки О и обозначается буквой Таким образом,

Спроектируем векторы, входящие в последнее равенство, на координатные оси. Обозначая через координаты точки системы, получаем

Откуда

где - проекции вектора на соответствующие оси.

Теорема о кинетическом моменте системы

Объединяя последние результаты, можем записать

Поэтому исходное уравнение движения можно представить в виде:

Полученное равенство, которое представляет собой второе основное динамическое уравнение движения системы, составляет содержание теоремы о кинетическом моменте системы, которая гласит: производная по времени от кинетического момента системы относительно точки О равна главному моменту всех внешних сил, действующих на систему относительно той же точки.

Теорема о кинетическом моменте системы представляет собой векторное равенство, проектируя векторы, входящие в него, на координатные оси, получаем:

Из этих равенств следует, что производная по времени от проекции кинетического момента на какую-нибудь ось равна сумме осевых моментов внешних сил относительно той же оси.

Для одной точки теорему о кинетическом моменте можно записать в виде:

где — момент количества движения точки, — ее радиус-вектор, — равнодействующая всех сил, приложенных к точке.

Об интеграле уравнения движения системы

При рассмотрении теоремы о количестве движения системы было показано, что в случае, когда внешние силы являются известными функциями времени, эта теорема дает первый интеграл движения. Для теоремы о моменте количества движения также справедливо аналогичное заключение. Именно, если главный момент внешних сил есть функция только времени или постоянная величина, то будет иметь место интеграл уравнения движения. Однако, этот интеграл не представляет особого интереса, так как момент внешних сил системы, как правило, зависит от положения ее точек относительно полюса. Поэтому лишь в специальных случаях он может быть заранее известной функцией времени. Представляет интерес интеграл, который дает теорема о кинетическом моменте материальной точки, когда на последнюю действует центральная сила. Действительно, если линия действия силы все время проходит через неподвижную точку (центральная сила), то момент ее относительно этой точки равен нулю, а по теореме о кинетическом моменте имеем:

или

Этот интеграл, как уже указывалось, является знаменитым интегралом площадей, играющим существенную роль в астрономии.

Вторая теорема Резаля

Также, как теорему о количестве движения, теорему о моменте количества движения можно сформулировать в виде: скорость конца вектора кинетического момента равна главному моменту внешних сил, действующих на систему. В такой формулировке теорему о кинетическом моменте можно назвать второй теоремой Резаля. Эта теорема обычно записывается в виде:

где

Вращение системы вокруг неподвижной оси

В качестве примера применения теоремы о кинетическом моменте рассмотрим вращение механической системы вокруг неподвижной оси, которую выберем в качестве оси z.

Теорема о кинетическом моменте в проекции на эту ось будет:

где

Но можно выразить через расстояние до оси вращения и центральный угол, который обозначим буквой (рис. 106):

Рис. 106

Проекции скоростей точки и можно записать в виде

где — модуль скорости точки. Так как система вращается вокруг оси z, то

где — угловая скорость вращения точки.

Таким образом:

Если механическая система представляет собой абсолютно твердое тело, то угловые скорости всех ее точек будут одинаковы.

Обозначая

запишем в виде

Сумма вида обозначается и носит название момента

инерции неизменяемой системы относительно оси . Она характеризует распределение масс в системе. Итак,

и

Исходное уравнение может быть записано в виде:

которое для абсолютно твердого тела имеет вид:

или, так как для твердого тела не зависит от времени и

Последнее уравнение представляет собой динамический закон вращения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Если заданы силы, действующие на абсолютно твердое тело, то момент их относительно оси вращения можно выразить как функцию времени t, угловой скорости угла поворота тела . Тогда, принимая во внимание, что имеем:

где — коэффициент, характеризующий распределение масс в абсолютно твердом теле, который может быть вычислен, если тело задано.

Интегрируя последнее уравнение при заданных начальных условиях, которые в рассматриваемом случае будут: при найдем закон изменения угла поворота тела как функцию времени, или кинематическое уравнение вращения тела вокруг оси

Приведенные динамические уравнения движения допускают первый интеграл, если момент внешних сил относительно оси равен нулю. Этот интеграл имеет вид:

Если все точки системы имеют одинаковую угловую скорость, т. е. система вращается как твердое тело, то

Из этого равенства видно, что если система вращается вокруг неподвижной оси, то при помощи одних только внутренних сил она не может остановиться, однако изменение ее угловой скорости без воздействия извне возможно — для этого достаточно с помощью внутренних сил изменить ее момент инерции. Проиллюстрируем сказанное примером.

Теоретические основы увеличения угловой скорости, используемые в балете

Возможность изменять скорость своего вращения посредством изменения момента инерции широко используется в классическом балете. Рассмотрим это явление на примере балерины, находящейся только под действием силы тяжести и вращающейся вокруг вертикальной оси. Вначале она становится на носок, чтобы свести к минимуму трение о пол, и выбрасывает в стороны руки. После этого партнер сообщает ей некоторую угловую скорость, а затем она прижимает руки к телу и, резко уменьшая свой момент инерции относительно вертикальной оси вращения, увеличивает свою угловую скорость. Желая остановиться, она снова выбрасывает руки, и угловая скорость ее вновь уменьшается.

Поворот человека, находящегося на абсолютно гладкой поверхности

Внутренние силы могут не только изменить скорость вращения системы, но и вызвать ее поворот, не меняя, конечно, положения центра масс. Как говорилось, человек не в состоянии передвигаться по абсолютно гладкой поверхности. Однако повернуться относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс, он может. Для этого ему достаточно, вытянув в сторону руку, описать ею дугу в горизонтальной плоскости. Тогда тело его повернется в противоположную сторону, причем с остановкой руки остановится и тело.

Рассмотрим это явление более подробно. Пусть момент инерции тела человека относительно его вертикальной оси равен а момент инерции вытянутой руки равен (относительно той же оси). В начальный момент времени кинетический момент рассматриваемой системы был равен нулю. Следовательно, он будет оставаться равным нулю и в дальнейшем. Но вращение руки в горизонтальной плоскости с угловой скоростью создает кинетический момент равный

Так как суммарный кинетический момент этой системы должен оставаться равным нулю, то должно выполняться следующее равенство:

где — угловая скорость человека во время движения его руки. Следовательно,

Таким образом, угловая скорость направлена в сторону, противоположную и когда становится равным нулю, также обращается в нуль. Тело человека останавливается, когда останавливается рука.