§ 2. Примеры применения уравнения Мещерского. Задачи Циолковского

Простейший пример

В качестве простейшего примера применения уравнения Мещерского рассмотрим движение ракеты, которую примем за материальную точку переменной массы. Изменение массы ракеты происходит за счет отбрасывания продуктов сгорания топлива. Предположим, что имеет место установившийся процесс горения. Тогда в единицу времени отбрасывается постоянная масса:

Величина которую обозначим через называется секундным массовым расходом топлива.

Величина реактивной силы в этом случае будет:

Отсюда следует, что чем больше массовый расход, тем больше реактивная сила и с этой точки зрения его целесообразно увеличивать. Однако величина этого расхода ограничена расходом топлива в ракете. Чем больше расход, тем менее продолжительной будет работа двигателя. Поэтому, увеличивая массовый расход одновременно, стремятся увеличить и скорость истечения продуктов горения.

Предположим, что внешняя сила, действующая на ракету, отсутствует Применяя уравнение

имеем:

Далее считаем, что абсолютная скорость и отбрасываемых частиц равна нулю. Этот случай соответствует полету ракеты со скоростью, равной скорости истечения продуктов горения. Тогда последнее уравнение запишется в виде:

Отсюда

где С - постоянная интегрирования. Пусть при тогда

и, следовательно,

Из полученного соотношения заключаем, что ракета будет двигаться прямолинейно и скорость ее возрастает, так как .

При установившемся процессе горения уменьшение массы ракеты определяется законом

Откуда

где — начальная масса ракеты.

Следовательно,

или

Полученное соотношение определяет закон увеличения скорости движения ракеты Предположим теперь, что точка переменной массы движется при указанных условиях, но масса ее увеличивается, тогда закон изменения скорости ее определится соотношением.

из которого следует, что движение точки будет прямолинейным и замедленным. Если масса точки при ее движении не меняется, то , в соответствии с законом инерции, точка будет двигаться равномерно и прямолинейно, так как

Первая задача Циолковского

В качестве следующих примеров применения уравнения Мещерского разберем две задачи, рассмотренные впервые К. Э. Циолковским и носящие благодаря этому его имя. Первая из этих задач посвящена рассмотрению прямолинейного движения ракеты в безвоздушном пространстве и формулируется следующим образом: точка переменной массы движется прямолинейно без воздействия внешних сил и скорость отбрасываемых ею частиц постоянна по величине и направлена в сторону, противоположную начальной скорости точки. Требуется определить закон движения точки, зная закон изменения массы ее. Направляя ось в сторону начальной скорости точки и проектируя уравнение Мещерского на эту ось, получим уравнение движения точки в виде:

или

где — постоянная величина относительной скорости отбрасываемых точкой частиц. Интегрируя последнее уравнение, найдем:

Используя начальные условия, при найдем постоянную интегрирования в виде:

и, следовательно,

Из полученной формулы следует, что скорость точки в какой-либо момент полностью определяется начальной скоростью точки относительной скоростью отбрасываемых частиц и отношением масс точки в начальный и рассматриваемый моменты времени. Из сказанного следует, что скорость точки не зависит от закона, по которому происходит уменьшение массы от значения до . Кроме того, из полученной формулы следует, что увеличение относительной скорости отбрасываемых частиц сильнее влияет на увеличение скороста точки, нежели увеличение отношения так как стоит под знаком логарифма.

Полагая далее, что в начальный момент при найдем уравнение движения точки в виде:

Из этой формулы следует, что в отличие от скорости путь х, проходимый

точкой, зависит от закона изменения массы точки. Этот закой определяется скоростью сгорания топлива в ракете и для получения окончательного решения поставленной задачи должен быть задан в том или ином виде.

Вторая задача Циолковского

Вторая задача Циолковского посвящена исследованию движения точки переменной массы, летящей вертикально вверх и находящейся под действием силы тяжести. Относительная скорость отбрасываемых частиц считается постоянной и направленной вниз. Направляя ось у вертикально вверх и проектируя на нее векторы, входящие в уравнение Мещерского, для рассматриваемого случая получим уравнение

или

Интегрируя это уравнение и определяя постоянную интегрирования из начальных условий: при найдем

Так же как и в первой задаче Циолковского, закон изменения скорости не зависит от закона изменения массы точки.

Переписывая последнее уравнение в виде:

и интегрируя его при начальных условиях: при найдем закон движения точки

Так же как и в первой задаче Циолковского, из полученной формулы следует, что путь у, проходимый точкой, зависит от закона изменения массы точки, который должен быть задан в том или ином виде для окончательного решения поставленной задачи. Заметим, что вторая задача Циолковского решена в предположении, что ускорение силы тяжести не изменяется в процессе движения. Поэтому полученные формулы применимы только при рассмотрении движения точки вблизи Земли.

Полученные формулы для v и у, в случае постоянства массы точки обращаются в известные формулы вертикального движения точки постоянной массы в поле силы тяжести.