§ 3. Плоскопараллельное движение твердого тела

Определение плоскопараллельного движения

Сложное движение тела, состоящее из мгновенно вращательного движения вокруг оси и мгновенно поступательного движения, перпендикулярного к оси, называется плоскопараллельным движением тела.

Как следует из определения при плоскопараллельном движении твердого тела, все точки его движутся параллельно какой-нибудь неподвижной (основной) плоскости.

Указанная особенность плоскопараллельного движения может быть также принята в качестве его определения. При плоскопараллельном движении точки тела, лежащие на прямой, перпендикулярные основной плоскости, имеют одинаковое движение и поэтому движение всей прямой определяется движением одной из ее точек. Отсюда движение всего тела может быть определено движением параллельного основной плоскости сечения тела в плоскости этого сечения.

Таким образом, изучение плоскопараллельного движения тела сводится к рассмотрению движения неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости.

Изучая кинематику движения плоской фигуры в ее плоскости, мы, строго говоря, рассматриваем движение всей плоскости (неизменно связанной с плоской фигурой) относительно неподвижной плоскости. Таким образом, окончательно изучение плоскопараллельного движения сводится к рассмотрению движения подвижной плоскости относительно неподвижной. С плоскопараллельным движением мы уже встречались, рассматривая вращение тела вокруг параллельных и антипараллельных осей.

Плоскопараллельное движение совершают рабочие части многих механизмов и машин, поэтому изучение этого частного случая движения твердого тела имеет большое практическое значение.

Уравнение плоскопараллельного движения тела

Движение подвижной плоскости относительно неподвижной в каждый момент раскладывается на мгновенно вращательное движение вокруг оси, перпендикулярной плоскости, и мгновенно поступательное движение, перпендикулярное к этой оси.

Возьмем систему осей координат так, чтобы плоскость совпадала с неподвижной плоскостью. Выберем на подвижной плоскости некоторый полюс О, тогда мгновенно поступательное движение подвижной плоскости определится уравнениями:

где — координаты точки О.

Мгновенно вращательное движение вокруг оси, перпендикулярной плоскости, определяется уравнением:

Указанные уравнения полностью определяют движение подвижной плоскости относительно неподвижной и, следовательно, являются уравнениями плоскопараллельного движения тела, которое в данном случае обладает тремя степенями свободы.

Поле скоростей

Совокупность скоростей всех точек подвижной плоскости называется полем скоростей. Займемся определением его. Как было доказано для произвольного случая движения твердого тела, скорость точки М его определяется по формуле:

где — вектор, соединяющий точки О и — мгновенная угловая скорость тела (в случае плоскопараллельного движения, направленная перпендикулярно плоскости движения).

Векторное произведение представляет собой вектор, направленный перпендикулярно вектору расположенный в подвижной плоскости перпендикулярно отрезку по модулю, равный:

Обозначая для краткости

можно сказать, что это есть вектор скорости точки М при ее вращении вокруг точки О.

Скорость точки М можно представить в виде:

Используя уравнения плоскопараллельного движения, найдем по формулам:

Таким образом, скорость точки М будет определяться последними соотношениями. Так как М произвольная точка подвижной плоскости, то эти формулы определяют поле скоростей плоскопараллельного движения тела.

Мгновенный центр скоростей

Определим точку подвижной плоскости К, скорость которой в данный момент равна нулю. Пользуясь предыдущей формулой, запишем:

Последнее условие можно выполнить следующим построением (рис. 49): проведем из точки О вектор повернем его на 90° в сторону вращения тела и отложим в этом направлении луч Тогда в точках, расположенных на этом луче, скорости будут иметь диаметрально противоположное направление. Чтобы эти скорости были равны и суммарная скорость точки К равнялась нулю, надо, чтобы расстояние определялось равенством

Рис. 49

Точка подвижной плоскости, скорость которой равна нулю, называется мгновенным центром скоростей. Для каждого момента времени это будут разные точки подвижной плоскости. Если мгновенный центр скоростей К известен, то скорость любой точки М подвижной плоскости определяется по формуле:

где

и вектор направлен перпендикулярно к прямой, соединяющей точки К и М в сторону вращения тела. Если известны направления векторов скоростей двух точек А и В подвижной плоскости, то мгновенный центр скоростей найдется как точка пересечения перпендикуляров, восставленных к указанным направлениям из точек А и В (рис. 50).

Рис. 50

Рис. 51

Если задана скорость какой-либо точки, например А, то угловая скорость подвижной плоскости определяется по формуле:

Если перпендикуляры к направлениям скоростей, восставленные из точек Л и В, сливаются (рис. 51), то, чтобы найти мгновенный центр скоростей, надо знать величины скоростей в точках А к В.

Так как скорости точек при удалении от мгновенного центра скоростей меняются по линейному закону, то мгновенный центр скоростей определится как пересечение прямой, соединяющей концы векторов скоростей, и перпендикуляра, восставленного к ним (рис. 51). Если скорости двух точек подвижной плоскости параллельны и равны по величине, то мгновенный центр скоростей находился в бесконечности (рис. 52). Это будет случай мгновенно поступательного движения подвижной плоскости.

Рис. 52

Иногда мгновенный центр скоростей можно указать, исходя из физических соображений. Например, при качении без скольжения колеса по рельсу скорость точки колеса, соприкасающейся с рельсом, равняется нулю, следовательно, это будет мгновенный центр скоростей.

Центроиды

Точка неподвижной плоскости, совпадающая в данный момент с мгновенным центром скоростей, называется мгновенным центром поворота. При плоскопараллельном движении тела мгновенный центр скоростей будет непрерывно менять свое положение в подвижной плоскости. Соответственно перемещается и мгновенный центр поворота в неподвижной плоскости.

Геометрическое место мгновенных центров скоростей для различных моментов времени, отмеченных на подвижной плоскости, называется подвижной центроидой.

Геометрическое место мгновенных центров поворота, отмеченных на неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой.

В каждый данный момент мгновенный центр скоростей совпадает с мгновенным центром поворота.

Мгновенный центр скоростей можно рассматривать как воображаемую точку, перемещающуюся в подвижной плоскости и в различные моменты времени, совпадающую с различными точками подвижной и неподвижной плоскости. Используя терминологию относительного движения точки, можно при этом сказать, что мгновенный центр скоростей, перемещаясь в подвижной плоскости, участвует в относительном движении. Соответственно, подвижная центроида есть относительная траектория мгновенного центра скоростей. Движение подвижной плоскости — это переносное движение. Перемещение мгновенного центра поворота в неподвижной плоскости — это абсолютное движение рассматриваемой воображаемой точки, и, следовательно, неподвижная центроида — это абсолютная траектория ее. Соответственно, для этой воображаемой движущейся точки введем понятие скоростей: абсолютной относительной и переносной Но воображаемая точка в каждый момент времени совпадает с мгновенным центром скоростей, следовательно, ее переносная скорость равна нулю и

т. е. скорость мгновенного центра скоростей равна скорости мгновенного центра поворота. Так как скорости направлены по касательным к траекториям, которыми являются подвижная и неподвижная центроиды, то последние имеют не только общую точку, но и общую касательную в каждый данный момент времени (рис. 53). Более того, поскольку равны скорости, то за один и тот же элементарный промежуток времени полюс и мгновенный центр поворота проходят равные пути по своим траекториям. Отсюда имеем следующую теорему, подчеркивающую важность изучения подвижной и неподвижной центроиды: при плоскопараллельном движении подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде.

Точка касания центроид дает положение мгновенного центра скоростей в данный момент времени.

Сформулированная теорема доказывает, что всякое непоступательное движение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить качением без скольжения некоторого колеса (подвижная центроида) по какому-либо рельсу (неподвижная центроида). Последнее играет существенную роль в техническом осуществлении всевозможных механизмов.

Рис. 53

В заключение раздела отметим, что при рассмотрении всевозможных движений абсолютно твердого тела не рассматривались вопросы определения ускорений точек тела. Распределение ускорений точек твердого тела может быть без особого труда получено путем дифференцирования по времени соответствующих формул распределения скоростей.