ВВЕДЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА

§ 1. Векторные величины и некоторые операции над ними

Скалярные и векторные величины

Все величины, с которыми нам приходится встречаться в физике и, в частности, в одном из ее разделов механики, можно разделить на два типа:

а) скалярные, которые определяются одним действительным положительным или отрицательным числом. Примером таких величин могут служить время, температура;

б) векторные, которые определяются направленным пространственным отрезком прямой (или тремя скалярными величинами) и обладают свойствами, приведенными ниже.

Примером векторных величин служат сила, скорость, ускорение.

Декартова система координат

Когда речь идет о направленных отрезках, то следует указать объект, по отношению к которому это направление определяется. В качестве такого объекта принимается декартова система координат, составляющими которой являются оси.

Осью называется прямая, на которой указано направление. Три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в точке О, названные соответственно образуют прямоугольную декартову систему координат. Декартова система координат может быть правой (рис. 1) или левой (рис. 2). Эти системы являются зеркальным изображением друг друга и не могут быть совмещены каким-либо перемещением.

Во всем дальнейшем изложении всюду принимается правая система координат. В правой системе координат положительное направление отсчета всех углов принимается против часовой стрелки.

Рис. 1

Рис. 2

Это соответствует направлению совмещения осей х с у, если глядеть с положительного направления оси

Свободные векторы

Вектор, характеризуемый только длиной и направлением в заданной системе координат, носит название свободного. Свободный вектор изображается отрезком заданной длины и направления, начало которого расположено в любой точке пространства. На чертеже вектор изображается стрелкой (рис. 3).

Векторы обозначаются одной жирной буквой или двумя буквами, соответствующими началу и концу стрелки с черточкой над ними или

Рис. 3

Величину вектора называют его модулем и обозначают одним из указанных способов

Указанные далее свойства и операции относятся к свободным векторам и приводят к тем или иным также свободным векторам.

Равенство векторов

Так как основными характеристиками вектора считаются его длина и направление, то векторы называются равными, если их направления и величины совпадают. В частном случае равные векторы могут быть направлены вдоль одной прямой. Равенство векторов, например а и b (рис. 4), записывается в виде:

Если векторы (а и b) равны по модулю, но диаметрально противо положны по направлению (рис. 5), то это записывается в виде:

Рис. 4

Рис. 5

Векторы, имеющие одинаковое или диаметрально противоположное направление, называются коллинеарными.

Умножение вектора на скаляр

Произведение вектора а на скаляр К называется вектор по модулю, равный совпадающий по направлению с вектором а, если К положительно, и диаметрально ему противоположный, если К отрицательно.

Единичный вектор

Вектор, у которого модуль равен единице и направление совпадает с заданным вектором а, называется единичным вектором данного вектора или его ортом. Орт обозначается . Всякий вектор через его орт можно представить в виде

Единичные векторы, расположенные вдоль положительных направлений координатных осей, обозначаются соответственно (рис. 6).

Рис. 6

Сложение векторов

Правило сложения векторов постулируется (оправданием для этого постулата служат наблюдения над реальными объектами векторной природы). Этот постулат заключается в том, что два вектора

переносят в какую-либо точку пространства так, чтобы начала их совпадали (рис. 7). Направленная диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 7), называется суммой векторов сложение векторов записывается в виде

и носит название сложения по правилу параллелограмма.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Указанное правило сложения векторов можно осуществить еще и следующим образом: в любой точке пространства откладывается вектор далее, от конца вектора откладывается вектор (рис. 8). Вектор а, начало которого совпадает с началом вектора а конец — с концом вектора будет суммой векторов

Последнее правило сложения векторов удобно, если нужно сложить более чем два вектора. Действительно, если нужно сложить несколько векторов, то, используя указанное правило, следует построить ломаную, сторонами которой являются заданные векторы, причем начало какого-либо вектора совпадает с концом предыдущего вектора. Суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец совпадает с концом последнего вектора (рис. 9). Если заданные векторы образуют замкнутый многоугольник, то говорят, что сумма векторов равна нулю.

Из правила построения суммы векторов следует, что сумма их не зависит от порядка, в котором взяты слагаемые, или сложение векторов коммутативно. Для двух векторов последнее может быть записано в виде:

Вычитание векторов

Вычитание вектора из вектора производится по следующему правилу: строится вектор и из конца его откладывается вектор — (рис. 10). Вектор а, начало которого совпадает с началом

вектора а конец — с концом вектора равен разности векторов и Проведенная операция может быть записана в виде:

Рис. 10

Разложение вектора на составляющие

Разложить заданный вектор — это значит представить его как сумму нескольких векторов, которые называются его составляющими.

Рассмотрим задачу о разложении вектора а, если задано, что составляющие его должны быть направлены по трем координатным осям. Для этого построим параллелепипед, диагональю которого является вектор а и ребра параллельны координатным осям (рис. 11). Тогда, как очевидно из чертежа, сумма векторов расположенных по ребрам этого параллелепипеда, дает вектор а:

Рис. 11

Проекция вектора на ось

Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка, который ограничивают плоскости, перпендикулярные к оси, проходящие через начало и конец вектора (рис. 12). Точки пересечения указанных плоскостей с осью (А и В) называются проекцией соответственно начала и конца вектора.

Проекция вектора имеет знак плюс, если направления ее, считая от проекции начала вектора к проекции его конца, совпадают с направлением оси. Если эти направления не совпадают то проекция имеет знак минус.

Проекции вектора а на оси координат обозначаются соответственно

Рис. 12

Координаты вектора

Составляющие вектора а, расположенные параллельно координатным осям через проекции вектора и единичные векторы могут быть записаны в виде:

Следовательно:

где полностью определяют вектор и носят название его координат.

Обозначая через углы, которые составляет вектор а с осями координат, проекции вектора а на оси можно записать в виде:

Отсюда для модуля вектора а имеем выражение:

Так как задание вектора его проекциями однозначно, то два равных вектора будут иметь равные координаты.

Сложение векторов через их координаты

Как следует из рис. 13, проекция суммы векторов на ось равна алгебраической сумме их проекций. Следовательно, из векторного равенства:

вытекают три следующих скалярных равенства:

или координаты суммарного вектора равны алгебраической сумме координат составляющих векторов.

Рис. 13

Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов обозначается а • b и определяется произведением их модулей на косинус угла между ними:

Скалярное произведение двух векторов можно также определить как произведение модуля одного из векторов на проекцию другого вектора на направление первого вектора.

Из определения скалярного произведения следует, что

т. е. имеет место переместительный закон.

По отношению к сложению скалярное произведение обладает свойством распределительности:

что непосредственно следует из свойства — проекция суммы векторов равна алгебраической сумме их проекций.

Скалярное произведение через проекции векторов можно записать в виде:

Векторное произведение двух векторов

Векторное произведение двух векторов обозначается axb. Это есть вектор с, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними:

Вектор с направлен перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами а и b так, что если смотреть с конца вектора с, то для кратчайшего совмещения вектора а с вектором b первый вектор надо было вращать в положительном направлении (против часовой стрелки; рис. 14). Вектор, представляющий собой векторное произведение двух векторов, называется аксиальным вектором (или псевдовектором). Его направление зависит от выбора системы координат или условия о положительности направления отсчета углов. Указанное направление вектора с соответствует правой системе декартовых осей координат, выбор которой был оговорен ранее.

Рис. 14

Из определения векторного произведения следует:

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

Докажем для векторного произведения закон распределительности по отношению к сложению или справедливость равенства:

Для доказательства построим на векторах а, b, с параллелепипед (рис. 15). Проведем через произвольную точку ребра, образованного вектором с, сечение параллелепипеда, перпендикулярное с, и на сторонах этого сечения отметим векторы а и (рис. 15). Тогда можем записать:

Рис. 15

Векторы а с все лежат в плоскости построенного сечения; по модулю они пропорциональны с и соответственно перпендикулярны векторам и . Следовательно, так как векторы образуют стороны и диагональ параллелограмма, то и векторы а также образуют стороны и диагональ параллелограмма, т. е.

или, возвращаясь к вектором , имеем:

что доказывает закон распределительности.

Запишем векторное произведение через прокции векторов:

Так как , то

Полученную формулу удобнее записать в виде детерминанта:

Векторно-скалярное произведение трех векторов

Векторно-скалярным произведением трех векторов называется произведение вида:

Используя формулы, выражающие скалярное и векторное произведение через их проекции, имеем:

Так как модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, то численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с. Из геометрической интерпретации векторно-скалярного произведения и его представления в виде детерминанта вытекают следующие свойства:

1. Если векторы а, b, с конпланарны (параллельны одной плоскости), то векторно-скалярное произведение равно нулю.

2. В векторно-скалярном произведении можно совершать циклическую перестановку множителей:

Векторно-векторное произведение трех векторов

Векторно-векторное произведение трех векторов имеет вид:

Пользуясь предыдущими формулами, оно может быть представлено так:

Раскрывая определитель, можно убедиться, что последнее равенство переписывается в виде: