ГЛАВА 17. ДИНАМИКА ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА

§ 1. Кинематические уравнения Эйлера Углы Эйлера

Пусть твердое тело имеет неподвижную точку О. Выберем эту точку за начало двух координатных систем неподвижной системы и системы, жестко связанной с телом Очевидно, что положение тела в пространстве может быть задано положением подвижной системы относительно неподвижной х, у, z, которое полностью определяется с помощью (как это было показано в главе 3, § 1) трех углов Эйлера: — собственного вращения тела, — нутации и — прецессии (рис. 122).

Рис. 122

Заметим, что расположение подвижных осей в теле может быть выбрано произвольным образом.

Разложение вектора мгновенной угловой скорости по трем направлениям

Произвольное движение твердого тела, имеющего неподвижную точку (как доказано в главе 3, § 4) представляет собой вращение вокруг мгновенной оси, определяемое вектором угловой скорости . Это движеиие, как показывалось ранее (глава 5, § 2), можно рассматривать как сумму трех движений вращения вокруг оси , вращения вокруг оси z и вращения вокруг линии узлов (рис. 122). Обозначим угловые скорости этих вращений соответственно через . Тогда, согласно теореме о сложении угловых скоростей, можно написать

причем вектор направлен по оси , вектор по оси z и вектор по . По величине угловые скорости, очевидно, будут равны

Заметим, что и представляют собой обобщенные координаты твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, и являются соответствующими обобщенными скоростями.

Проекции мгновенной угловой скорости на оси подвижной системы

Вычислим проекции мгновенной угловой скорости на оси подвижной системы . Для этого спроектируем на эти оси векторы Так как вектор направлен по оси , то будем иметь:

Чтобы найти проекции вектора проведем плоскость через оси (плоскость нутации) и обозначим линию ее пересечения с плоскостью через (рис. 122). При этом ось и прямая будут взаимно перпендикулярны. Разложим теперь вектор на две составляющие направленную вдоль направленную вдоль

Тогда получим:

где

Далее, так как линия узлов перпендикулярна плоскости то она перпендикулярна и линии , следовательно, угол между осью х и линией равен —

Проектируя теперь векторы наноси , найдем проекции на оси в виде:

или, окончательно,

Переходя к вычислению проекции вектора заметим, что он лежит в плоскости , следовательно, его проекция на ось равна нулю. Кроме того, так как вектор направлен по линии узлов то угол, образуемый им с осью , равен а с осью равен

Отсюда следует, что

или, окончательно,

Суммируя теперь соответствующие проекции векторов получаем

Эти равенства связывают проекции с углами Эйлера и их производными по времени .

Эти соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера.