§ 2. Перемещения и число степенен свободы системы

Возможные перемещения системы

Понятие идеальных связей тесно связано с представлением о возможных и виртуальных перемещениях системы, которым посвящеп настоящий параграф.

Связи, действующие на механическую систему, накладывают ограничения на бесконечно малые перемещения точек системы. Действительно, пусть точка системы имеет скорость тогда за бесконечно малый промежуток времени точка совершит бесконечно малое перемещение равное:

Если на систему действуют а неосвобождающих геометрических связей, то (как указано в кинематике) скорости точек системы связаны следующими а соотношениями:

Отсюда перемещения точек системы будут связаны следующими а соотношениями:

Всякие бесконечно малые перемещения точек системы с а геометрическими связями, удовлетворяющие последним равенствам, носят название возможных перемещений системы. Перемещение, которое совершают точки системы за бесконечно малый промежуток времени при ее действительном движении в пространстве (происходящими под действием приложенных сил), будет одним из возможных перемещений системы.

Чтобы отличать возможные перемещения от действительных, последние обозначим через Если на систему не наложены связи, то любые бесконечно малые перемещения точек системы будут ее возможными перемещениями.

Если связь стационарна, то в уравнениях (20.4)

Пример возможного и действительного перемещения

Пусть система состоит из точки, которая движется вдоль плоскости. Любые бесконечно малые перемещения точки вдоль поверхности будут ее возможными перемещениями. Бесконечно малое перемещение точки по ее траектории будет действительным перемещением и одним из возможных перемещений.

Виртуальные перемещения

Рассмотрим два возможных перемещения точек системы, совершающихся за один и тот же промежуток времени Разность этих перемещений носит название виртуальных перемещений и обозначается через

Из соотношений (20.4) следует, что виртуальные перемещения удовлетворяют соотношениям:

Так как соотношения (20.5) представляют собой уравнения, которым удовлетворяют возможные перемещения, когда связи стационарны, то виртуальные перемещения можно определить как возможные перемещения системы по застывшей в данный момент связи.

Для стационарных связей понятие возможных и виртуальных перемещений будут идентичны. Так как виртуальные перемещения для данного момента подсчитываются в предположении, что связь застыла, то действительное перемещение не будет одним из виртуальных перемещений.

Вариации координат

Виртуальные перемещения получаются в результате того, что радиусам-векторам, определяющим точки системы даются приращения не зависящие от времени и удовлетворяющие определенным соотношениям. Эти приращения, следовательно, изменяют функцию не за счет изменения аргумента t, а за счет изменения вида самой функции.

В силу этого виртуальное перемещение носит название вариации функции в отличие от дифференциала функции который представляет собой приращение функции в результате изменения аргумента t. Проекции виртуального перемещения на оси координат, которые будем обозначать называются вариациями координат.

Если система, состоящая из точек, свободна, то она имеет произвольных вариаций координат

Число степеней свободы системы

Если на систему наложено а геометрических связей, то вариации координат связаны а соотношениями вида

которые представляют собой иную запись соотношений (20.5).

Следовательно, для связных систем только вариаций координат можно выбирать произвольно, остальные же вычисляются из соотношения (20.5).

Число независимых вариаций координат называется числом степеней свободы системы, оно равно:

Заметим, что формальное определение числа степеней свободы (задаваемое последней формулой) было ранее приведено в кинематике (см. главу 2, § 3).