§ 2. Характеристика сил

Общий вид сил

Силы, действующие на материальные тела, и, в частности, на материальные точки, распространенные в практике, как показывают наблюдения, в общем случае зависят от времени t, положения точки приложения силы, определяемой радиусом векторов , и скорости v движения точки, т. е.

Силы, зависящие от времени

Зависимость F от времени характерна для сил, возникающих при физических процессах, происходящих во времени, независимо от движения рассматриваемой материальной точки. К таким силам относятся: силы, вызывающие вибрацию в машинах, предназначенных для уплотнения; периодические силы, воздействующие на фундаменты двигателей с возвратно поступательным движением своих рабочих механизмов, а также сила давления газов на поршень двигателя внутреннего сгорания, определяемая процессами сгорания топлива и кинематикой кривошипно-шатунного механизма. Обычно все эти силы имеют периодический характер и потому представляются тригонометрическими функциями или рядами Фурье.

Силы, зависящие от положения точки

Среди сил, зависящих от положения точки, особое место в практике занимают силы упругости и гравитационные силы.

Силы упругости характерны тем, что они действуют на точку в таком направлении, чтобы вернуть ее в исходное равновесное положение. Когда точка приходит к этому положению, упругая сила обращается в нуль. Чем больше отклоняется точка от положения равновесия, тем больше становится сила упругости. Линия действия силы упругости в любой момент времени проходит через точку равновесия.

Рис. 58

Такого рода силы возникают в упругих телах при их деформации. Эти силы подчиняются закону Гука, из которого следует, что сила пропорциональна деформации. Классическим примером упругой силы является сила, возникающая при деформации пружины. Если положение равновесия точки М обозначим через О и выберем ее в качестве начала координат (рис. 58), а место, которое занимает

М в данный момент времени, определить радиусом-вектором проведенным из точки О, то упругую силу можно записать в виде:

где знак минус указывает, что сила направлена противоположно радиусу-вектору и — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность:

обычно называемый жесткостью пружины.

В рассмотренном случае упругая сила линейно определяется удалением точки от положения равновесия. Однако это не обязательное свойство упругой силы. Например, если пружина коническая, то зависимость уже не будет линейной. Необходимым признаком упругой силы является то, что она: равна нулю при отклонении, равном нулю; монотонно растет по абсолютной величине вместе с ростом отклонения; всегда направлена в точку равновесия и зависит только от положения движущейся точки.

Рис. 59

Гравитационные силы или силы взаимного притяжения тел определяются законом всемирного тяготения, который гласит, что две материальные точки с массами находящиеся на расстоянии притягиваются друг к другу с равными силами, направленными по прямой, соединяющей эти точки, и абсолютная величина этой силы прямо пропорциональна произведению масс точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между точками.

Расположив точку массы в начале координат, а положение точки массы определив радиусом-вектором (рис. 59), гравитационную силу, действующую на точку массы запишем в виде:

где знак минус указывает, что сила направлена в сторону, обратную радиусу вектору т. е. сила притягивающая. Коэффициент пропорциональности у, называемый гравитационной постоянной, зависит от принятой системы единиц. Для системы единиц СИ

Так как гравитационная постоянная у весьма мала, то сила тяготения становится ощутимой только при взаимодействии между телами, по крайней мере одно из которых имеет массу,

характерную для космических тел. Поэтому взаимным притяжением всех других тел обычно пренебрегают.

Силы, пропорциональные массам точек или тел, на которые они действуют, носят вмеханике название массовых сил. Так как гравитационная сила, действующая на материальную точку, пропорциональна ее массе, то это и будет массовая сила.

Аналогичная гравитационным зависимость силы от положения точки имеет место при взаимодействии электрических или магнитных зарядов. Но в этом случае могут возникнуть как силы притяжения, так и силы отталкивания. Следовательно, в последней формуле знак минус может отсутствовать. Кроме того, вместо величин масс в формулу, определяющую силу, войдут величины, характеризующие заряд точек. Значение коэффициента пропорциональности, естественно, изменится.

Силы, зависящие от скорости точки

С силами, зависящими от скорости движения точки, чаще всего сталкиваются, когда рассматривают движение тел в среде, оказывающей сопротивление. Тела, движущиеся в воде или в воздухе, испытывают со стороны этих сред силовое взаимодействие, препятствующее движению. Силы сопротивления являются пассивными силами и возникают лишь постольку, поскольку имеется движение тела относительно среды. Когда относительная скорость обращается в нуль, то силы сопротивления исчезают. Направлены эти силы всегда противоположно вектору скорости. Силы сопротивления среды будут тем больше, чем больше скорость движения. При этом функциональная зависимость сил сопротивления меняется весьма существенно при изменении скорости движения. Многочисленными экспериментами было установлено, что при медленном движении тела в жидкой, вязкой или газообразной среде силы сопротивления зависят от первой степени модуля скорости сил:

где — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств среды, формы и размеров тела.

При более высоких скоростях движения имеет место так называемый квадратичный или гидравлический закон сопротивления вида:

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от тех же факторов, что и коэффициент .

При очень больших скоростях движения приходится вводить еще более сложную функциональную зависимости сил сопротивления от скорости.