§ 3. Уравнения Лагранжа второго рода, как уравнения движения точки в 3n-мерном пространстве
Значение обобщенных координат
Аналитический вывод уравнений Лагранжа второго рода не позволяет уяснить физический смысл их. Однако в какой-то мере последний можно усмотреть из сопоставления этих уравнений с движением точки в трехмерном пространстве, записанном в проекции на криволинейные координаты. Для этого обратимся снова к значению обобщенных координат. Как уже указывалось, преимущество обобщенных координат перед декартовыми при рассмотрении связных систем заключается в том, что обобщенные координаты автоматически учитывают связи, наложенные на систему. Но значение обобщенных координат не исчерпывается указанным. Действительно, в случае движения свободной материальной точки три параметра 
определяющие радиус-вектор ее, можно рассматривать как обобщенные координаты и одновременно как криволинейные координаты точки в трехмерном пространстве. Если система состоит из 
свободных материальных точек, следовательно, обладает 
степенями свободы, то, переходя к каким-либо 
криволинейным координатам, получим 
обобщенных координаты системы.
Таким образом, введение обобщенных координат представляет в некоторых случаях переход от декартовых координат системы к криволинейным координатам, которые могут быть удобны при рассмотрении тех или иных задач.
Уравнения Лагранжа второго рода в применении к движению свободной материальной точки
Пусть положение точки определяется тремя криволинейными координатами: 
Рассматривая последние как обобщенные координаты, уравнения движения точки (уравнения Лагранжа второго рода) запишем в виде:
Эти уравнения, полученные ранее другими путями (см. главу 7, § 3), представляют собой проекции векторного уравнения движения точки на направление координатных линий.
В частном случае, когда в качестве обобщенных координат выбраны декартовы координаты точки, последние уравнения преобретают обычный вид. Действительно, первое из уравнений будет:
или
Пространство конфигураций
Движение одной материальной точки определяется изменением трех координат ее. Последние определяют некоторое трехмерное пространство. Движение 
свободных материальных точек определяется изменением 
координаты; 
координат определяют 
-мерное пространство. Таким образом, движение 
материальных точек можно рассматривать как движение одной материальной точки вдоль некоторой траектории 
-мерного пространства. Это пространство называется пространством конфигураций. Такое геометрическое представление движения системы материальных точек в ряде случаев является весьма наглядным и полезным при исследовании движения механических систем.
Подпространство конфигураций
Если на систему, состоящую из 
материальных точек, наложено а связей, то положение системы определяется 
обобщенными координатами; 
обобщенных координат определяют 
-мерное пространство. Следовательно, движение связной системы можно рассматривать как движение точки в 
-мерном пространстве. Это пространство называется подпространством конфигураций, а траектория движения системы называется траекторией в подпространстве конфигураций.
Уравнения движения точки в подпространстве конфигураций s измерений
Будем рассматривать обобщенные координаты системы 
как риволинейные координаты точки 
-мерного пространства. Тогда, сравнивая уравнения Лагранжа второго рода:
с уравнениями (21.13), можно рассматривать их как уравнения движения, записанные в проекциях на направления координатных линий 
-мерного пространства точки, обладающей кинетической энергией всей системы и находящейся под действием обобщенной силы, равной сумме обобщенных сил, действующих на все точки системы. Итак, уравнения Лагранжа второго рода есть уравнения движения точки в 
-мерном пространстве, определяемом криволинейными координатами 
О выводе уравнений Лагранжа второго рода
Используя представление 
как криволинейных координат 
-мерного пространства, можно уравнения Лагранжа второго рода получить как результат комбинации уравнений движения отдельных точек системы. Эти уравнения представляют собой проекции на направления криволинейных координатных линий обычного векторного уравнения движения каждой точки системы. Следовательно, число их равно 
Комбинация этих уравнений направлена на исключение сил реакций связей, используя постулат идеальности связей. При указанном выводе уравнений Лагранжа второго рода следует использовать ковариантные составляющие вектора ускорения, указанные в главе 2, § 4.
Указанный прием получения уравнений движения используется при изучении релятивистской механики (см. главу 29, § 2).
