§ 3. Главные координаты

Постановка задачи

Интегрирование уравнений малых колебаний системы с двумя степенями свободы, рассмотренных в предыдущем параграфе, значительно упрощается, если эти два уравнения будут независимы, т. е. каждое уравнение будет содержать только одну обобщенную координату. Это возможно в том случае, когда коэффициенты равны нулю и уравнения движения имеют вид:

где — некоторые обобщенные координаты.

Решение этих уравнений определяет гармонический закон изменения обобщенных координат системы независимо одно от другого. Возникает вопрос, нельзя ли для каждой механической системы, обладающей двумя степенями свободы и совершающей собственные колебания, подобрать специальным образом обобщенные координаты так, чтобы уравнения движения системы имели вид, указанный выше.

Будем решать этот вопрос следующим образом. Пусть для заданной механической системы выбраны каким-то образом две обобщенные координаты Перейдем от к новым обобщенным координатам На это преобразование наложим следующие условия: преобразование должно быть линейным, так как уравнения малых колебаний системы линейны; преобразование системы должно быть однородным, так как в положении равновесия и старые обобщенные координаты и новые обобщенные координаты должны обращаться в нуль.

Следовательно, преобразования имеют вид:

Постоянные коэффициенты подберем таким образом, чтобы в выражениях потенциальной и кинетической энергии

отсутствовали члены с коэффициентами что равносильно отсутствию членов, содержащих эти коэффициенты и в уравнениях движения.

Поставленную задачу можно несколько упростить и свести ее к определению только двух, а не четырех постоянных коэффициентов. Действительно, можно обозначить При этом, если в выражениях потенциальной и кинетической энергии отсутствуют члены с произведением обобщенных координат и с произведением обобщенных скоростей то при переходе к координатам положение не меняется. Итак, не нарушая общности, будем искать преобразование обобщенных координат к координатам в виде:

Решение задачи

Выписываем выражения для кинетической и потенциальной энергии:

Чтобы в выражениях кинетической и потенциальной энергии отсутствовали члены с произведением необходимо выполнение условий:

Полученные уравнения служат для определения коэффициентов

Положим, что определитель этой системы уравнений не равен нулю:

тогда можно найти сумму и произведение коэффициентов в виде:

Отсюда и можно определить как корни квадратного уравнения вида:

где будут вещественны, так как дискриминант последнего уравнения, имеющий вид:

совпадает с дискриминантом уравнения частот, которое, как показано в предыдущем параграфе, имеет действительные корни. Итак, приведенные выше формулы определяют

Чтобы записать теперь кинетическую энергию Т и потенциальную энергию П через в компактной форме, введем обозначения:

Тогда

Уравнения движения системы и их интегрирование

Уравнения движения системы теперь имеют вид:

Решения этих уравнений будут

где произвольные постоянные интегрирования, определяются по формулам:

Как уже ранее указывалось, частота колебаний системы определяется основными характеристиками ее и не зависит от выбора начальных условий или обобщенных координат системы. Следовательно, найденные частоты есть частоты главных колебаний, определяющих собственные колебания системы. Сделанное утверждение можно проверить непосредственным вычислением.

Главные или нормальные обобщенные координаты

Каждая из найденных обобщенных координат совершает гармоническое колебание с частотой соответствующего главного колебания. Поэтому носят название главных или нормальных обобщенных координат. Изменение этих координат происходит совершенно независимо друг от друга.

Другой метод определения главных координат

Возвращаясь снова к исходным обобщенным координатам можем теперь записать их в виде:

или, вводя главные колебания и используя обозначения предыдущего параграфа, запишем:

и, так же как И в предыдущем параграфе, имеем:

Следовательно, искомые в настоящем параграфе коэффициенты совпадают с введенными в предыдущем параграфе коэффициентами, имеющими те же обозначения. Отсюда для определения главных координат может быть применен иной метод, чем указан выше. Именно, можно выбрать произвольно обобщенные координаты

и . Далее решить уравнение частот, найти коэффициенты по формулам предыдущего параграфа и определить главные координаты из уравнений:

или

Заметим, что в большинстве практических задач невозможно заранее указать главные обобщенные координаты системы. Поэтому для отыскания их приходится производить вычисления, указанные в настоящем параграфе. Следовательно, введение обобщенных главных координат не облегчает вычислительную сторону решения задачи о собственных колебаниях системы с двумя степенями свободы.

Теоретическое значение главных координат

Введение главных обобщенных координат имеет важное теоретическое значение, которое заключается в том, что, выбрав специальным образом обобщенные координаты, можно любые собственные колебания системы с двумя степенями свободы представить как независимые гармонические колебания каждой обобщенной координаты.

Заметим, что все предыдущие рассуждения были проведены в предположении, что выражение

неравно нулю. Если это выражение равно нулю, то этот случай требует специального исследования.