§ 4. Малые колебания системы с одной степенью свободы

Кинетическая, потенциальная энергия и функция рассеяния

Простейшим случаем малых колебаний системы является движение системы с одной степенью свободы. Обозначая через обобщенную координату системы и предполагая, что на нее действуют силы потенциального поля и силы сопротивления среды, пропорциональные первой степени скорости, запишем кинетическую энергию Т, потенциальную энергию П и функцию Ф рассеяния в виде:

По физическому смыслу кинетическая энергия системы всегда положительна. Следовательно, коэффициент а в последнем выражении больше нуля Точно так же по физическому смыслу всегда положительна функция рассеяния. Следовательно, коэффициент X положителен Далее движение рассматривается около устойчивого положения равновесия, для которого, как доказано, II минимально и равно нулю. Следовательно, коэффициент с положителен

Уравнения движения малых колебаний системы с одной степенью свободы

Предположим, что помимо сил потенциального поля и сил сопротивления среды на системы действуют гармонические возмущающие силы. Тогда, для системы с одной степенью свободы уравнение движения имеет вид:

Это уравнение аналогично уравнению прямолинейного движения точки под действием упругой силы, силы сопротивления среды, пропорциональной первой степени скорости, и возмущающей силы, меняющейся по гармоническому закону, указанному в предыдущей главе.

Эта аналогия определяет специфическое название основных коэффициентов, определяющих колебание а и с в уравнении малых колебаний системы с одной степенью свободы. Именно а носит название квазиинерционного коэффициента, а с носит название квазиупругого коэффициента. Эти названия сохраняются и при рассмотрении малых колебаний системы со многими степенями свободы.

Траектории точек и законы движения по ней

Уравнение, определяющее х при прямолинейном колебании точки, и уравнение, определяющее обобщенную координату при малых колебаниях системы с одной степенью свободы, одинаковы. Одинаков и физический смысл аналогичных членов этих уравнений. Поэтому все исследования и физическая интерпретация решений, проведенная относительно х, без изменения относится к координате

Перейдем от обобщенной координаты к декартовым координатам точек системы. Так как радиусы-векторы точек системы определяются через обобщенную координату, то

Разлагая в ряд Тейлора около положения равновесия и ограничиваясь ввиду малости колебаний только членами первого порядка малости, имеем:

Отклонение точки от положения равновесия определяется вектором или координатами вида:

Отсюда следует, что вектор отклонения точки от равновесного положения постоянен по направлению. Следовательно, траектории точек, составляющих систему, будут прямыми. Исключая из последних уравнений обобщенную координату найдем уравнения прямых, по которым движутся точки системы:

Отклонение точки от положения равйовесия для различных моментов времени или закон движения точки по траектории

определится соотношениями вида:

где будет известная функция времени, определенная из уравнения движения при заданных начальных условиях.

Из последнего соотношения следует, что коэффициент

определяет изменение амплитуды колебаний при переходе от одной точки системы к другой.

Так как будет одинаково для всех точек системы, то характер колебаний всех точек системы будет аналогичен.

Отметим, что при изучении прямолинейных колебаний изолированной материальной точки ее амплитуду считаем произвольной. При изучении же малых колебаний системы с одной степенью свободы амплитуды отдельных ее точек в общем случае будут малыми. Подчеркнем, что характерной особенностью малых колебаний системы с одной степенью свободы является линейность колебательных движений отдельных точек системы.